Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán rút gọn biểu thức chứa căn thức. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước nhé.

Bài 1: Rút gọn biểu thức \( \left(\frac{3\sqrt{X}+6}{X-9} – \frac{2}{\sqrt{X}-3}\right) : \frac{1}{\sqrt{X}+3} \) với \(X \ge 0, X \ne 9\).

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức có nghĩa, ta cần có:

• \(X \ge 0\) (theo đề bài)
• \(X-9 \ne 0 \Rightarrow X \ne 9\) (theo đề bài)
• \(\sqrt{X}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{X} \ne 3 \Rightarrow X \ne 9\)
• \(\sqrt{X}+3 \ne 0\). Vì \(\sqrt{X} \ge 0\), nên \(\sqrt{X}+3 \ge 3\), luôn khác 0.

Vậy, điều kiện xác định là \(X \ge 0\) và \(X \ne 9\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc đơn.

Ta có biểu thức trong ngoặc là: \( \frac{3\sqrt{X}+6}{X-9} – \frac{2}{\sqrt{X}-3} \)

Nhận thấy \(X-9 = (\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\).

Quy đồng mẫu số cho hai phân thức:

\( \frac{3\sqrt{X}+6}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} – \frac{2(\sqrt{X}+3)}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \)

Thực hiện phép trừ tử số:

\( \frac{(3\sqrt{X}+6) – 2(\sqrt{X}+3)}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \)

\( \frac{3\sqrt{X}+6 – 2\sqrt{X}-6}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \)

\( \frac{\sqrt{X}}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \)

\( \frac{\sqrt{X}}{X-9} \)

Bước 3: Thực hiện phép chia.

Bây giờ, ta thay biểu thức rút gọn vào biểu thức ban đầu:

\( \frac{\sqrt{X}}{X-9} : \frac{1}{\sqrt{X}+3} \)

Chia hai phân thức là nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai:

\( \frac{\sqrt{X}}{X-9} \times (\sqrt{X}+3) \)

Ta lại có \(X-9 = (\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\).

\( \frac{\sqrt{X}}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \times (\sqrt{X}+3) \)

Triệt tiêu \(\sqrt{X}+3\) ở tử và mẫu:

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-3} \)

Kết luận Bài 1: Vậy, biểu thức rút gọn là \( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-3} \) với \(X \ge 0, X \ne 9\).

Bài 2: Rút gọn biểu thức \( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3}{\sqrt{X}+3} + \frac{X-2}{9-X} \) với \(X \ge 0, X \ne 9\).

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức có nghĩa, ta cần có:

• \(X \ge 0\) (theo đề bài)
• \(\sqrt{X}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{X} \ne 1 \Rightarrow X \ne 1\)
• \(\sqrt{X}+3 \ne 0\). Tương tự như bài 1, luôn khác 0.
• \(9-X \ne 0 \Rightarrow X \ne 9\) (theo đề bài)

Vậy, điều kiện xác định là \(X \ge 0, X \ne 1, X \ne 9\).

Bước 2: Chuyển đổi một số phân thức để có mẫu số chung.

Nhận thấy \(9-X = -(X-9) = -(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\).

Ta cũng có thể viết lại phân thức thứ ba như sau: \( \frac{X-2}{9-X} = \frac{X-2}{-(X-9)} = \frac{-(X-2)}{X-9} = \frac{2-X}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \).

Biểu thức trở thành: \( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3}{\sqrt{X}+3} + \frac{2-X}{(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)} \)

Tuy nhiên, đây chưa phải là mẫu số chung. Mẫu số chung của các phân thức là tích của các mẫu số riêng lẻ (sau khi đã đưa về dạng tối giản và không có thừa số chung). Ở đây, ta có các mẫu là \(\sqrt{X}-1\), \(\sqrt{X}+3\), và \((\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\).

Chúng ta cần tìm mẫu số chung là \((\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\) hoặc tìm một cách đơn giản hơn.

Hãy xem xét lại biểu thức: \( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3}{\sqrt{X}+3} – \frac{X-2}{X-9} \)

Ta quy đồng mẫu số cho các phân thức có mẫu số liên quan đến \(X-9\) và \( \sqrt{X}+3 \).

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3(\sqrt{X}-3)}{( \sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)} – \frac{X-2}{X-9} \)

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3\sqrt{X}-9}{X-9} – \frac{X-2}{X-9} \)

Kết hợp hai phân thức cuối:

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{(3\sqrt{X}-9) – (X-2)}{X-9} \)

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3\sqrt{X}-9-X+2}{X-9} \)

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{-\sqrt{X}^2+3\sqrt{X}-7}{X-9} \)

Đây có vẻ không đơn giản hóa được ngay. Hãy thử quy đồng tất cả lại.

Bước 2 (lần 2): Quy đồng tất cả các phân thức về mẫu số chung là \((\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)\).

Ta có \(9-X = – (X-9) = – (\sqrt{X}-3)(\sqrt{X}+3)\).

Biểu thức ban đầu: \( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{3}{\sqrt{X}+3} + \frac{X-2}{9-X} \)

Quy đồng mẫu số:

\( \frac{\sqrt{X} (\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)}{(\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)} + \frac{3 (\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}-3)}{(\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)} + \frac{(X-2) (-(\sqrt{X}-1))}{(\sqrt{X}-1)(\sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)} \)

= \( \frac{\sqrt{X}(X-9)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} + \frac{3(X – 3\sqrt{X} – \sqrt{X} + 3)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} + \frac{-(X-2)(\sqrt{X}-1)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

= \( \frac{\sqrt{X}(X-9) + 3(X – 4\sqrt{X} + 3) – (X-2)(\sqrt{X}-1)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

Nhân các biểu thức ở tử:

Tử số 1: \(X\sqrt{X} – 9\sqrt{X}\)

Tử số 2: \(3X – 12\sqrt{X} + 9\)

Tử số 3: \((X-2)(\sqrt{X}-1) = X\sqrt{X} – X – 2\sqrt{X} + 2\)

Ghép lại:

\( (X\sqrt{X} – 9\sqrt{X}) + (3X – 12\sqrt{X} + 9) – (X\sqrt{X} – X – 2\sqrt{X} + 2) \)

\( X\sqrt{X} – 9\sqrt{X} + 3X – 12\sqrt{X} + 9 – X\sqrt{X} + X + 2\sqrt{X} – 2 \)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\( (X\sqrt{X} – X\sqrt{X}) + (3X + X) + (-9\sqrt{X} – 12\sqrt{X} + 2\sqrt{X}) + (9 – 2) \)

\( 0 + 4X + (-19\sqrt{X}) + 7 \)

\( 4X – 19\sqrt{X} + 7 \)

Vậy, biểu thức rút gọn là: \( \frac{4X – 19\sqrt{X} + 7}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

Hãy kiểm tra lại cách rút gọn khác.

Xét \( \frac{3}{\sqrt{X}+3} + \frac{X-2}{9-X} = \frac{3}{\sqrt{X}+3} – \frac{X-2}{X-9} \)

\( = \frac{3(\sqrt{X}-3)}{( \sqrt{X}+3)(\sqrt{X}-3)} – \frac{X-2}{X-9} \)

\( = \frac{3\sqrt{X}-9}{X-9} – \frac{X-2}{X-9} \)

\( = \frac{3\sqrt{X}-9 – (X-2)}{X-9} = \frac{3\sqrt{X}-9-X+2}{X-9} = \frac{-X+3\sqrt{X}-7}{X-9} \)

Bây giờ cộng với phân thức đầu tiên:

\( \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} + \frac{-X+3\sqrt{X}-7}{X-9} \)

\( = \frac{\sqrt{X}}{\sqrt{X}-1} – \frac{X-3\sqrt{X}+7}{X-9} \)

Mẫu số chung là \((\sqrt{X}-1)(X-9)\).

\( = \frac{\sqrt{X}(X-9)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} – \frac{(X-3\sqrt{X}+7)(\sqrt{X}-1)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

\( = \frac{X\sqrt{X}-9\sqrt{X} – (X\sqrt{X}-X-3X+3\sqrt{X}+7\sqrt{X}-7)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

\( = \frac{X\sqrt{X}-9\sqrt{X} – (X\sqrt{X}-4X+10\sqrt{X}-7)}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

\( = \frac{X\sqrt{X}-9\sqrt{X} – X\sqrt{X}+4X-10\sqrt{X}+7}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

\( = \frac{4X-19\sqrt{X}+7}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \)

Kết luận Bài 2: Vậy, biểu thức rút gọn là \( \frac{4X-19\sqrt{X}+7}{(\sqrt{X}-1)(X-9)} \) với \(X \ge 0, X \ne 1, X \ne 9\).

Các em thấy đó, việc rút gọn biểu thức chứa căn thức đòi hỏi sự cẩn thận trong từng bước tính toán và áp dụng đúng các quy tắc về phân số, căn thức. Hãy luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé!