Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập đại số thú vị này nhé. Đây là những bài tập giúp chúng ta ôn lại và củng cố kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ và phép nhân đa thức.

Chúng ta hãy cùng bắt đầu thôi!

***

Bài 4) Rút gọn biểu thức: \( (3x-1)^3 – 2x(2x+1)^2 \)

Đây là một bài tập kết hợp giữa khai triển lập phương của một hiệu và bình phương của một tổng, sau đó là phép nhân đa thức và thu gọn. Chúng ta sẽ làm từng bước một nhé!

Bước 1: Khai triển \((3x-1)^3\)

Chúng ta sử dụng hằng đẳng thức: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).
Ở đây, \(a = 3x\) và \(b = 1\).

Vậy:
\( (3x-1)^3 = (3x)^3 – 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 – (1)^3 \)
\( = 27x^3 – 3(9x^2)(1) + 3(3x)(1) – 1 \)
\( = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 \)

Bước 2: Khai triển \((2x+1)^2\) và nhân với \(2x\)

Đầu tiên, chúng ta khai triển \((2x+1)^2\) bằng hằng đẳng thức: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Ở đây, \(a = 2x\) và \(b = 1\).

Vậy:
\( (2x+1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + (1)^2 \)
\( = 4x^2 + 4x + 1 \)

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả này với \(2x\):
\( 2x(2x+1)^2 = 2x(4x^2 + 4x + 1) \)
\( = 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot 4x + 2x \cdot 1 \)
\( = 8x^3 + 8x^2 + 2x \)

Bước 3: Thực hiện phép trừ và thu gọn biểu thức

Chúng ta sẽ lấy kết quả của Bước 1 trừ đi kết quả của Bước 2.
Lưu ý quan trọng: Khi trừ một đa thức, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử của đa thức đó.

\( (3x-1)^3 – 2x(2x+1)^2 \)
\( = (27x^3 – 27x^2 + 9x – 1) – (8x^3 + 8x^2 + 2x) \)
\( = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 – 8x^3 – 8x^2 – 2x \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại và cộng trừ chúng:
Hạng tử bậc 3: \( 27x^3 – 8x^3 = 19x^3 \)
Hạng tử bậc 2: \( -27x^2 – 8x^2 = -35x^2 \)
Hạng tử bậc 1: \( 9x – 2x = 7x \)
Hạng tử tự do: \( -1 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\( \mathbf{19x^3 – 35x^2 + 7x – 1} \)

***

Bài 5) Rút gọn biểu thức: \( (3x-1)^3 – 27x^2(x+1) \)

Bài này cũng tương tự bài trên, chúng ta đã có một phần khai triển rồi đó!

Bước 1: Khai triển \((3x-1)^3\)

Từ Bài 4, chúng ta đã biết:
\( (3x-1)^3 = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 \)

Bước 2: Nhân \(27x^2\) với \((x+1)\)

Chúng ta thực hiện phép nhân phân phối:
\( 27x^2(x+1) = 27x^2 \cdot x + 27x^2 \cdot 1 \)
\( = 27x^3 + 27x^2 \)

Bước 3: Thực hiện phép trừ và thu gọn biểu thức

Chúng ta lấy kết quả của Bước 1 trừ đi kết quả của Bước 2. Nhớ đổi dấu nhé!

\( (3x-1)^3 – 27x^2(x+1) \)
\( = (27x^3 – 27x^2 + 9x – 1) – (27x^3 + 27x^2) \)
\( = 27x^3 – 27x^2 + 9x – 1 – 27x^3 – 27x^2 \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại và cộng trừ chúng:
Hạng tử bậc 3: \( 27x^3 – 27x^3 = 0 \)
Hạng tử bậc 2: \( -27x^2 – 27x^2 = -54x^2 \)
Hạng tử bậc 1: \( 9x \)
Hạng tử tự do: \( -1 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\( \mathbf{-54x^2 + 9x – 1} \)

***

Bài 6) Rút gọn biểu thức: \( (2x+1) – 8x(x-1) \)

Bài này đơn giản hơn một chút, chỉ có phép nhân đơn thức với đa thức.

Bước 1: Giữ nguyên hạng tử \((2x+1)\)

Phần này không cần khai triển gì cả, chúng ta giữ nguyên nó.

Bước 2: Nhân \(8x\) với \((x-1)\)

Chúng ta thực hiện phép nhân phân phối:
\( 8x(x-1) = 8x \cdot x – 8x \cdot 1 \)
\( = 8x^2 – 8x \)

Bước 3: Thực hiện phép trừ và thu gọn biểu thức

Chúng ta lấy hạng tử đầu tiên trừ đi kết quả của Bước 2. Nhớ đổi dấu nhé!

\( (2x+1) – 8x(x-1) \)
\( = (2x+1) – (8x^2 – 8x) \)
\( = 2x + 1 – 8x^2 + 8x \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử đồng dạng lại và cộng trừ chúng, đồng thời sắp xếp theo thứ tự bậc từ cao xuống thấp:
Hạng tử bậc 2: \( -8x^2 \)
Hạng tử bậc 1: \( 2x + 8x = 10x \)
Hạng tử tự do: \( +1 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là:
\( \mathbf{-8x^2 + 10x + 1} \)

***

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và quy tắc nhân, cộng, trừ đa thức, chúng ta có thể giải quyết được các bài toán này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!