Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm \(x\) có chứa lũy thừa và phân số. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các quy tắc về lũy thừa và cách làm việc với phân số. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết từng bước một nhé!

Đề bài: Tìm \(x\) biết:

\( \frac{4^{x+3}}{5} + \frac{4^{x+1}}{7} = \frac{4^5 \cdot 117}{35} \)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Quy đồng mẫu số ở vế trái (LHS)

Ở vế trái, chúng ta có hai phân số với mẫu số là \(5\) và \(7\). Mẫu số chung nhỏ nhất của \(5\) và \(7\) là \(35\). Chúng ta sẽ quy đồng hai phân số này:

\( \frac{4^{x+3}}{5} = \frac{4^{x+3} \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 4^{x+3}}{35} \)

\( \frac{4^{x+1}}{7} = \frac{4^{x+1} \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 4^{x+1}}{35} \)

Vậy, vế trái của phương trình trở thành:

\( \frac{7 \cdot 4^{x+3}}{35} + \frac{5 \cdot 4^{x+1}}{35} = \frac{7 \cdot 4^{x+3} + 5 \cdot 4^{x+1}}{35} \)

Bước 2: Sử dụng tính chất của lũy thừa để rút gọn vế trái

Chúng ta nhớ lại quy tắc lũy thừa: \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \). Áp dụng quy tắc này, chúng ta có:

\( 4^{x+3} = 4^x \cdot 4^3 \)

\( 4^{x+1} = 4^x \cdot 4^1 \)

Thay vào biểu thức ở vế trái:

\( \frac{7 \cdot (4^x \cdot 4^3) + 5 \cdot (4^x \cdot 4^1)}{35} \)

Tính giá trị của \(4^3\) và \(4^1\):

\( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)

\( 4^1 = 4 \)

Thay các giá trị này vào:

\( \frac{7 \cdot (4^x \cdot 64) + 5 \cdot (4^x \cdot 4)}{35} \)

Bây giờ, chúng ta thấy \(4^x\) là thừa số chung trong cả hai hạng tử ở tử số. Chúng ta sẽ đặt \(4^x\) ra ngoài làm thừa số chung:

\( \frac{4^x \cdot (7 \cdot 64 + 5 \cdot 4)}{35} \)

Thực hiện các phép nhân trong ngoặc:

\( 7 \cdot 64 = 448 \)

\( 5 \cdot 4 = 20 \)

Tiếp tục cộng các giá trị trong ngoặc:

\( 448 + 20 = 468 \)

Vậy, vế trái của phương trình bây giờ là:

\( \frac{4^x \cdot 468}{35} \)

Bước 3: So sánh hai vế và giải phương trình

Bây giờ chúng ta có phương trình mới như sau:

\( \frac{4^x \cdot 468}{35} = \frac{4^5 \cdot 117}{35} \)

Vì cả hai vế đều có mẫu số là \(35\), chúng ta có thể bỏ mẫu số đi (bằng cách nhân cả hai vế với \(35\)):

\( 4^x \cdot 468 = 4^5 \cdot 117 \)

Để tìm \(4^x\), chúng ta chia cả hai vế cho \(468\):

\( 4^x = \frac{4^5 \cdot 117}{468} \)

Bây giờ, chúng ta cần rút gọn phân số \( \frac{117}{468} \). Chúng ta có thể thấy \(468\) chia hết cho \(117\):

\( 468 \div 117 = 4 \)

Vậy, phương trình trở thành:

\( 4^x = \frac{4^5}{4} \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). Chúng ta có \( \frac{4^5}{4} = \frac{4^5}{4^1} \):

\( 4^x = 4^{5-1} \)

\( 4^x = 4^4 \)

Bước 4: Tìm giá trị của \(x\)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.

Từ \( 4^x = 4^4 \), chúng ta suy ra:

\( x = 4 \)

Vậy, giá trị của \(x\) cần tìm là \(4\).

Kiểm tra lại:

Thay \(x=4\) vào phương trình ban đầu:

\( \frac{4^{4+3}}{5} + \frac{4^{4+1}}{7} = \frac{4^7}{5} + \frac{4^5}{7} \)

\( = \frac{7 \cdot 4^7 + 5 \cdot 4^5}{35} = \frac{7 \cdot 4^5 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4^5}{35} \)

\( = \frac{4^5 (7 \cdot 4^2 + 5)}{35} = \frac{4^5 (7 \cdot 16 + 5)}{35} \)

\( = \frac{4^5 (112 + 5)}{35} = \frac{4^5 \cdot 117}{35} \)

Vế trái bằng vế phải, vậy đáp án của chúng ta là chính xác.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng bài tập tương tự nhé!