Chào các em học sinh thân mến!

Thầy rất vui khi được hướng dẫn các em giải quyết hai bài tập này. Đây là những bài tập rất hay, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ và kỹ năng thay thế giá trị vào biểu thức. Chúng ta cùng nhau giải quyết từng bài nhé!

—

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức \(25x^2 + 4y^2 – 20xy\) tại \(x = \frac{1}{2}\)

Phân tích đề bài:
Chúng ta có một biểu thức đại số chứa hai biến \(x\) và \(y\). Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của \(x\). Các em hãy quan sát kỹ biểu thức \(25x^2 + 4y^2 – 20xy\). Các em có nhận ra đây là một dạng của hằng đẳng thức nào không?

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy biểu thức \(25x^2 + 4y^2 – 20xy\) có dạng của một hằng đẳng thức quen thuộc, đó là bình phương của một hiệu: \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Hãy cùng xác định \(A\) và \(B\) trong trường hợp này:

• Số hạng \(A^2\) tương ứng với \(25x^2\). Vậy, \(A = \sqrt{25x^2} = 5x\).
• Số hạng \(B^2\) tương ứng với \(4y^2\). Vậy, \(B = \sqrt{4y^2} = 2y\).
• Bây giờ, chúng ta kiểm tra số hạng \(-2AB\): \(-2 \cdot (5x) \cdot (2y) = -20xy\). Số hạng này hoàn toàn trùng khớp với biểu thức đã cho!

Vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:
\(25x^2 + 4y^2 – 20xy = (5x – 2y)^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị \(x = \frac{1}{2}\) vào biểu thức đã được rút gọn này:

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào \((5x – 2y)^2\), ta được:
\( \left(5 \cdot \frac{1}{2} – 2y\right)^2 \)
\( = \left(\frac{5}{2} – 2y\right)^2 \)

Vì đề bài không cho giá trị của \(y\), nên kết quả cuối cùng của chúng ta sẽ là một biểu thức theo \(y\).

Kết luận:
Vậy, giá trị của biểu thức \(25x^2 + 4y^2 – 20xy\) tại \(x = \frac{1}{2}\) là \(\left(\frac{5}{2} – 2y\right)^2\).

—

Bài 6: Tính giá trị của biểu thức \(9x^2 + y^2 + 6xy\) tại \(x = 3\)

Phân tích đề bài:
Tương tự như bài 5, chúng ta có một biểu thức đại số và cần tính giá trị của nó khi biết giá trị của \(x\). Các em hãy xem xét biểu thức \(9x^2 + y^2 + 6xy\). Biểu thức này cũng có dạng của một hằng đẳng thức đấy!

Lời giải chi tiết:

Biểu thức \(9x^2 + y^2 + 6xy\) có dạng của hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).

Chúng ta cùng xác định \(A\) và \(B\):

• Số hạng \(A^2\) tương ứng với \(9x^2\). Vậy, \(A = \sqrt{9x^2} = 3x\).
• Số hạng \(B^2\) tương ứng với \(y^2\). Vậy, \(B = \sqrt{y^2} = y\).
• Bây giờ, chúng ta kiểm tra số hạng \(+2AB\): \(+2 \cdot (3x) \cdot (y) = +6xy\). Số hạng này hoàn toàn trùng khớp với biểu thức đã cho!

Vậy, chúng ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:
\(9x^2 + y^2 + 6xy = (3x + y)^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị \(x = 3\) vào biểu thức đã được rút gọn này:

Thay \(x = 3\) vào \((3x + y)^2\), ta được:
\( (3 \cdot 3 + y)^2 \)
\( = (9 + y)^2 \)

Vì đề bài không cho giá trị của \(y\), nên kết quả cuối cùng của chúng ta sẽ là một biểu thức theo \(y\).

Kết luận:
Vậy, giá trị của biểu thức \(9x^2 + y^2 + 6xy\) tại \(x = 3\) là \((9 + y)^2\).

—

Các em thấy đó, việc nhận ra và áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ không chỉ giúp chúng ta giải bài nhanh hơn mà còn giúp biểu thức trở nên gọn gàng, dễ tính toán hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các hằng đẳng thức này nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!