Bài 5: Đơn giản các biểu thức sau:

Để đơn giản các biểu thức, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Bỏ dấu ngoặc. Lưu ý quy tắc dấu khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đứng trước.
2. Nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau.
3. Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng.

A) \( (2a²-0,5a+5) – (3a²+2,5a+4) + (7-4a²+3a) \)

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc.
Vì dấu ngoặc đầu tiên không có dấu trừ đứng trước nên ta giữ nguyên các hạng tử bên trong.
Dấu ngoặc thứ hai có dấu trừ đứng trước, nên ta đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong: \( -(3a²+2,5a+4) = -3a²-2,5a-4 \).
Dấu ngoặc thứ ba không có dấu trừ đứng trước nên ta giữ nguyên các hạng tử bên trong.

Ta có: \( 2a² – 0,5a + 5 – 3a² – 2,5a – 4 + 7 – 4a² + 3a \)

Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng.
Các hạng tử chứa \( a² \): \( 2a² \), \( -3a² \), \( -4a² \).
Các hạng tử chứa \( a \): \( -0,5a \), \( -2,5a \), \( 3a \).
Các hạng tử tự do (hằng số): \( 5 \), \( -4 \), \( 7 \).

Ta nhóm lại như sau: \( (2a² – 3a² – 4a²) + (-0,5a – 2,5a + 3a) + (5 – 4 + 7) \)

Bước 3: Cộng hoặc trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng.
Với \( a² \): \( (2 – 3 – 4)a² = (-1 – 4)a² = -5a² \).
Với \( a \): \( (-0,5 – 2,5 + 3)a = (-3 + 3)a = 0a = 0 \).
Với hằng số: \( (5 – 4 + 7) = (1 + 7) = 8 \).

Vậy, biểu thức sau khi đơn giản là: \( -5a² + 0 + 8 = -5a² + 8 \).

B) \( a³ – 2a² – (3a² – a + 5) + 4a² + a + 4 – (a + a³) \)

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc.
\( a³ – 2a² \) (giữ nguyên)
\( -(3a² – a + 5) = -3a² + a – 5 \) (đổi dấu)
\( 4a² + a + 4 \) (giữ nguyên)
\( -(a + a³) = -a – a³ \) (đổi dấu)

Ta có: \( a³ – 2a² – 3a² + a – 5 + 4a² + a + 4 – a – a³ \)

Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng.
Hạng tử chứa \( a³ \): \( a³ \), \( -a³ \).
Hạng tử chứa \( a² \): \( -2a² \), \( -3a² \), \( 4a² \).
Hạng tử chứa \( a \): \( a \), \( a \), \( -a \).
Hạng tử tự do: \( -5 \), \( 4 \).

Ta nhóm lại: \( (a³ – a³) + (-2a² – 3a² + 4a²) + (a + a – a) + (-5 + 4) \)

Bước 3: Cộng hoặc trừ các hệ số.
Với \( a³ \): \( (1 – 1)a³ = 0a³ = 0 \).
Với \( a² \): \( (-2 – 3 + 4)a² = (-5 + 4)a² = -1a² = -a² \).
Với \( a \): \( (1 + 1 – 1)a = 1a = a \).
Với hằng số: \( (-5 + 4) = -1 \).

Vậy, biểu thức sau khi đơn giản là: \( 0 – a² + a – 1 = -a² + a – 1 \).

C) \( -(b⁴ – 3b² + 3b + 1) – b³ + 1 – (3b² – b⁴ + 5) + 4b³ + 5 \)

Bước 1: Bỏ dấu ngoặc.
\( -(b⁴ – 3b² + 3b + 1) = -b⁴ + 3b² – 3b – 1 \)
\( -b³ + 1 \) (giữ nguyên)
\( -(3b² – b⁴ + 5) = -3b² + b⁴ – 5 \)
\( 4b³ + 5 \) (giữ nguyên)

Ta có: \( -b⁴ + 3b² – 3b – 1 – b³ + 1 – 3b² + b⁴ – 5 + 4b³ + 5 \)

Bước 2: Nhóm các hạng tử đồng dạng.
Hạng tử chứa \( b⁴ \): \( -b⁴ \), \( b⁴ \).
Hạng tử chứa \( b³ \): \( -b³ \), \( 4b³ \).
Hạng tử chứa \( b² \): \( 3b² \), \( -3b² \).
Hạng tử chứa \( b \): \( -3b \).
Hạng tử tự do: \( -1 \), \( 1 \), \( -5 \), \( 5 \).

Ta nhóm lại: \( (-b⁴ + b⁴) + (-b³ + 4b³) + (3b² – 3b²) + (-3b) + (-1 + 1 – 5 + 5) \)

Bước 3: Cộng hoặc trừ các hệ số.
Với \( b⁴ \): \( (-1 + 1)b⁴ = 0b⁴ = 0 \).
Với \( b³ \): \( (-1 + 4)b³ = 3b³ \).
Với \( b² \): \( (3 – 3)b² = 0b² = 0 \).
Với \( b \): \( -3b \).
Với hằng số: \( (-1 + 1 – 5 + 5) = 0 \).

Vậy, biểu thức sau khi đơn giản là: \( 0 + 3b³ + 0 – 3b + 0 = 3b³ – 3b \).

Bài 6: Cho các đa thức

A = \( 3x³ – x² + 5x + 3 \)

B = \( -x³ + 2x² – 13 \)

C = \( -5x³ + 3x² + x – 2 \)

Chúng ta sẽ lần lượt tính các yêu cầu.

a) \( A + B + C \)

Ta cộng các đa thức theo từng hạng tử đồng dạng:

\( A + B + C = (3x³ – x² + 5x + 3) + (-x³ + 2x² – 13) + (-5x³ + 3x² + x – 2) \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (3x³ – x³ – 5x³) + (-x² + 2x² + 3x²) + (5x + x) + (3 – 13 – 2) \)

Cộng hệ số:

\( = (3 – 1 – 5)x³ + (-1 + 2 + 3)x² + (5 + 1)x + (3 – 13 – 2) \)

\( = (-3)x³ + (4)x² + (6)x + (-12) \)

\( = -3x³ + 4x² + 6x – 12 \)

b) \( A – B – C \)

Trước hết, ta tính \( B + C \):

\( B + C = (-x³ + 2x² – 13) + (-5x³ + 3x² + x – 2) \)

\( = (-x³ – 5x³) + (2x² + 3x²) + x + (-13 – 2) \)

\( = -6x³ + 5x² + x – 15 \)

Bây giờ, ta tính \( A – (B + C) \):

\( A – B – C = A – (B + C) = (3x³ – x² + 5x + 3) – (-6x³ + 5x² + x – 15) \)

Bỏ dấu ngoặc:

\( = 3x³ – x² + 5x + 3 + 6x³ – 5x² – x + 15 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (3x³ + 6x³) + (-x² – 5x²) + (5x – x) + (3 + 15) \)

Cộng hệ số:

\( = (3 + 6)x³ + (-1 – 5)x² + (5 – 1)x + (3 + 15) \)

\( = 9x³ – 6x² + 4x + 18 \)

c) \( A – B + C \)

Ta tính \( A – B \) trước:

\( A – B = (3x³ – x² + 5x + 3) – (-x³ + 2x² – 13) \)

\( = 3x³ – x² + 5x + 3 + x³ – 2x² + 13 \)

\( = (3x³ + x³) + (-x² – 2x²) + 5x + (3 + 13) \)

\( = 4x³ – 3x² + 5x + 16 \)

Bây giờ, ta lấy kết quả trên cộng với C:

\( (A – B) + C = (4x³ – 3x² + 5x + 16) + (-5x³ + 3x² + x – 2) \)

\( = (4x³ – 5x³) + (-3x² + 3x²) + (5x + x) + (16 – 2) \)

\( = -x³ + 0x² + 6x + 14 \)

\( = -x³ + 6x + 14 \)

d) \( A – (-B + C) \)

Trước hết, ta tính \( -B + C \):

\( -B = -(-x³ + 2x² – 13) = x³ – 2x² + 13 \)

Vậy, \( -B + C = (x³ – 2x² + 13) + (-5x³ + 3x² + x – 2) \)

\( = (x³ – 5x³) + (-2x² + 3x²) + x + (13 – 2) \)

\( = -4x³ + x² + x + 11 \)

Bây giờ, ta tính \( A – (-B + C) \):

\( A – (-B + C) = (3x³ – x² + 5x + 3) – (-4x³ + x² + x + 11) \)

Bỏ dấu ngoặc:

\( = 3x³ – x² + 5x + 3 + 4x³ – x² – x – 11 \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( = (3x³ + 4x³) + (-x² – x²) + (5x – x) + (3 – 11) \)

Cộng hệ số:

\( = (3 + 4)x³ + (-1 – 1)x² + (5 – 1)x + (3 – 11) \)

\( = 7x³ – 2x² + 4x – 8 \)

Các em thấy đó, việc đơn giản hóa các biểu thức và thực hiện các phép tính với đa thức không hề khó nếu chúng ta nắm vững quy tắc và thực hiện từng bước cẩn thận. Nếu có bất kỳ chỗ nào chưa hiểu, các em đừng ngại hỏi lại cô nhé! Chúc các em học tốt!