Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rút gọn biểu thức khá thú vị. Bài toán này sẽ giúp các em ôn tập và vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học. Việc nắm vững các hằng đẳng thức là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác nhiều bài toán đại số phức tạp.

Bài toán:

Rút gọn biểu thức sau và tính giá trị của nó tại \(\( x = \frac{1}{2} \)\):

\(\( A = (2x+1)^2 – (2x-3)^2 + (x-2)(x^2+2x+4) – (x-1)(x^2+x+1) \)\)

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết nhé!

Lời giải chi tiết:

Để rút gọn biểu thức \(\( A \)\), chúng ta sẽ chia nó thành các phần nhỏ và áp dụng các hằng đẳng thức một cách hợp lý.

Phần 1: Rút gọn \(\( (2x+1)^2 – (2x-3)^2 \)\)

Ở đây, chúng ta thấy rõ có dạng hiệu hai bình phương. Các em còn nhớ hằng đẳng thức này không?

Hằng đẳng thức (1) Hiệu hai bình phương: \(\( a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \)\)

Áp dụng hằng đẳng thức này với \(\( a = (2x+1) \)\) và \(\( b = (2x-3) \)\), ta có:

\(\( (2x+1)^2 – (2x-3)^2 \)\)

\(\( = [(2x+1) – (2x-3)][(2x+1) + (2x-3)] \)\)

\(\( = (2x+1-2x+3)(2x+1+2x-3) \)\)

\(\( = (4)(4x-2) \)\)

\(\( = 16x – 8 \)\)

(Nếu không dùng HĐT hiệu hai bình phương, các em có thể dùng HĐT bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu để khai triển từng biểu thức:

• HĐT (2) Bình phương của một tổng: \(\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)\) (cho \(\( (2x+1)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(1) + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)\) )
• HĐT (3) Bình phương của một hiệu: \(\( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)\) (cho \(\( (2x-3)^2 = (2x)^2 – 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 – 12x + 9 \)\) )

Sau đó lấy \(\( (4x^2 + 4x + 1) – (4x^2 – 12x + 9) = 4x^2 + 4x + 1 – 4x^2 + 12x – 9 = 16x – 8 \)\) . Cả hai cách đều cho cùng kết quả, nhưng cách áp dụng HĐT hiệu hai bình phương nhanh gọn hơn rất nhiều!)

Phần 2: Rút gọn \(\( (x-2)(x^2+2x+4) \)\)

Phần này có dạng rất quen thuộc của hiệu hai lập phương. Đó là hằng đẳng thức nào vậy các em?

Hằng đẳng thức (4) Hiệu hai lập phương: \(\( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)\)

Áp dụng hằng đẳng thức này với \(\( a = x \)\) và \(\( b = 2 \)\), ta được:

\(\( (x-2)(x^2+2x+4) = x^3 – 2^3 = x^3 – 8 \)\)

Phần 3: Rút gọn \(\( (x-1)(x^2+x+1) \)\)

Tương tự như Phần 2, đây cũng là dạng hiệu hai lập phương.

Hằng đẳng thức (5) Hiệu hai lập phương: \(\( a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)\)

Với \(\( a = x \)\) và \(\( b = 1 \)\):

\(\( (x-1)(x^2+x+1) = x^3 – 1^3 = x^3 – 1 \)\)

Tổng hợp các phần lại để rút gọn biểu thức \(\( A \)\):

Thay các kết quả vừa rút gọn vào biểu thức \(\( A \)\) ban đầu:

\(\( A = (16x – 8) + (x^3 – 8) – (x^3 – 1) \)\)

Câu hỏi chi tiết cho các em:
Tại sao ở bước này chúng ta lại phải đặt \(\( (x^3 – 1) \)\) vào trong dấu ngoặc đơn khi phía trước có dấu trừ? Việc này có quan trọng không và nếu bỏ qua thì kết quả sẽ sai lệch như thế nào? (Các em hãy suy nghĩ thật kỹ nhé!)

Tiếp tục rút gọn:

\(\( A = 16x – 8 + x^3 – 8 – x^3 + 1 \)\)

\(\( A = (x^3 – x^3) + 16x + (-8 – 8 + 1) \)\)

\(\( A = 0 + 16x – 15 \)\)

\(\( A = 16x – 15 \)\)

Vậy, biểu thức \(\( A \)\) sau khi rút gọn là \(\( 16x – 15 \)\).

Như vậy, chúng ta đã vận dụng thành công 5 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải quyết bài toán này!

Tính giá trị của biểu thức \(\( A \)\) tại \(\( x = \frac{1}{2} \)\):

Sau khi đã rút gọn biểu thức \(\( A = 16x – 15 \)\), việc tính giá trị trở nên rất đơn giản.

Thay \(\( x = \frac{1}{2} \)\) vào biểu thức đã rút gọn, ta được:

\(\( A = 16 \times \left(\frac{1}{2}\right) – 15 \)\)

\(\( A = 8 – 15 \)\)

\(\( A = -7 \)\)

Vậy, giá trị của biểu thức \(\( A \)\) tại \(\( x = \frac{1}{2} \)\) là \(\( -7 \)\).

Kết luận và Dặn dò:

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc nắm vững và linh hoạt áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp chúng ta biến đổi các biểu thức phức tạp thành những dạng đơn giản hơn rất nhiều. Hãy thường xuyên luyện tập để ghi nhớ và làm chủ các công cụ này nhé!

Chúc các em học tốt!