5. (Mức 2) Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều r…
giảm chiều dài 6 m thì diện tích không đổi. Tính các kích thước ban đầu.
Chào các em học sinh!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải một bài toán về hình chữ nhật ở mức độ cơ bản nhưng yêu cầu sự cẩn thận trong việc lập phương trình. Đây là dạng toán quen thuộc trong chương trình Đại số lớp 9, thường được giải bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình bậc nhất một ẩn.
Chúng ta cùng phân tích đề bài nhé:
Đề bài: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m và giảm chiều dài 6 m thì diện tích không đổi. Tính các kích thước ban đầu.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt ẩn và lập biểu thức biểu diễn các đại lượng.
Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \( x \) (m). Điều kiện: \( x > 0 \).
Vì chiều dài gấp 3 lần chiều rộng nên chiều dài ban đầu là \( 3x \) (m).
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \( S_{ban\ đầu} = \text{chiều rộng} \times \text{chiều dài} = x \times 3x = 3x^2 \) (m\(^2\)).
Bước 2: Biểu diễn các đại lượng sau khi thay đổi và lập phương trình.
Theo đề bài, nếu:
- Tăng chiều rộng thêm 3 m, thì chiều rộng mới là: \( x + 3 \) (m).
- Giảm chiều dài 6 m, thì chiều dài mới là: \( 3x – 6 \) (m).
Để chiều dài mới có nghĩa, ta cần \( 3x – 6 > 0 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2 \).
Vậy điều kiện cho \( x \) là \( x > 2 \).
Diện tích của hình chữ nhật sau khi thay đổi là: \( S_{mới} = (x + 3)(3x – 6) \) (m\(^2\)).
Theo đề bài, diện tích không đổi, nghĩa là diện tích ban đầu bằng diện tích sau khi thay đổi.
Ta có phương trình:
\( S_{ban\ đầu} = S_{mới} \)
\( 3x^2 = (x + 3)(3x – 6) \)
Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của ẩn.
Khẳng định lại phương trình:
\( 3x^2 = (x + 3)(3x – 6) \)
Triển khai vế phải:
\( (x + 3)(3x – 6) = x \times 3x + x \times (-6) + 3 \times 3x + 3 \times (-6) \)
\( = 3x^2 – 6x + 9x – 18 \)
\( = 3x^2 + 3x – 18 \)
Vậy, phương trình trở thành:
\( 3x^2 = 3x^2 + 3x – 18 \)
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
\( 3x^2 – 3x^2 – 3x + 18 = 0 \)
\( -3x + 18 = 0 \)
\( 18 = 3x \)
\( x = \frac{18}{3} \)
\( x = 6 \)
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Ta thấy \( x = 6 \) thỏa mãn điều kiện \( x > 2 \).
Vậy, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là \( 6 \) m.
Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \( 3x = 3 \times 6 = 18 \) m.
Kiểm tra lại:
- Chiều rộng ban đầu: 6 m
- Chiều dài ban đầu: 18 m
- Chiều dài gấp 3 lần chiều rộng: \( 18 = 3 \times 6 \) (Đúng)
- Diện tích ban đầu: \( 6 \times 18 = 108 \) m\(^2\)
- Chiều rộng mới: \( 6 + 3 = 9 \) m
- Chiều dài mới: \( 18 – 6 = 12 \) m
- Diện tích mới: \( 9 \times 12 = 108 \) m\(^2\)
- Diện tích không đổi: \( 108 = 108 \) (Đúng)
Kết luận:
Vậy, kích thước ban đầu của hình chữ nhật là:
Chiều rộng: 6 m
Chiều dài: 18 m
Các em nhớ trình bày bài giải một cách chi tiết và rõ ràng như hướng dẫn nhé. Chúc các em học tốt!
Gọi \(x, y (m)\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài ban đầu của hình chữ nhật \((\)ĐK: \(x > 0, y > 6)\)
Vì chiều dài ban đầu gấp \(3\) lần chiều rộng ban đầu nên ta có phương trình:
\(y = 3x\) \((1)\)
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là: \(xy (m^2)\)
Chiều rộng sau khi tăng thêm \(3m\) là: \(x + 3 (m)\)
Chiều dài sau khi giảm \(6m\) là: \(y – 6 (m)\)
Diện tích mới của hình chữ nhật là: \((x + 3)(y – 6) (m^2)\)
Vì diện tích không đổi nên ta có phương trình:
\((x + 3)(y – 6) = xy\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases} y = 3x \\ (x + 3)(y – 6) = xy \end{cases}\)
Thay \((1)\) vào \((2)\), ta được:
\((x + 3)(3x – 6) = x * 3x\)
\(3x^2 – 6x + 9x – 18 = 3x^2\)
\(3x – 18 = 0\)
\(3x = 18\)
\(x = 6 text{(tmđk)}\)
Thay \(x = 6\) vào \((1)\), ta được:
\(y = 3 * 6 = 18 text{(tmđk)}\)
Vậy chiều rộng ban đầu là \(6m\) và chiều dài ban đầu là \(18m\)
Gọi \(x\) (m) là chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật (\(x>0\))
Gọi \(y\) (m) là chiều dài ban đầu của hình chữ nhật (\(x<y\))
Suy ra \(y=3x\)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là \(xy\) (\(m^2\))
Chiều rộng sau khi tăng: \(x+3\) (m)
Chiều dài sau khi giảm: \(y-6\) (m)
Diện tích hình chữ nhật sau thay đổi: \((x+3)(3x-6)\) (\(m^2\))
Vì diện tích không đổi, nên: \(xy=(x+3)(y-6)\)
Ta có hệ:
\({(y=3x(1)),(xy=(x+3)(y-6)(2)):}\)
Thay \((1)\) vào \((2)\):
\(3x^2=(x+3)(3x-6)\)
\(x^2=(x+3)(x-2)\)
\(x^2=x^2+x-6\)
\(x=6\) (t/m)
Thay vào \((1)\):
\(y=3x=3*6=18\) (t/m)
Vậy chiều dài ban đầu là \(18\) m, chiều rộng ban đầu là \(6\) m
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment