Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em ôn tập và thực hành một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể, chúng ta sẽ tập trung vào việc áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ số 3: hiệu của hai bình phương.

Hằng đẳng thức mà chúng ta sẽ sử dụng có dạng:

\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

Đây là một công cụ rất mạnh giúp chúng ta biến đổi một hiệu của hai bình phương thành tích của hai nhân tử. Nào, chúng ta hãy cùng nhau giải quyết từng bài tập một nhé!

—

Bài tập a: Phân tích đa thức \(x^2-4\) thành nhân tử.

Phân tích:

Để áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), chúng ta cần xác định được đâu là \(a\) và đâu là \(b\).

Ta thấy:

\(x^2\) chính là bình phương của \(x\). Vậy, ta có thể coi \(a = x\).

\(4\) chính là bình phương của \(2\) (vì \(2^2 = 4\)). Vậy, ta có thể coi \(b = 2\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=x\) và \(b=2\):

\(x^2-4 = x^2 – 2^2\)

\(= (x-2)(x+2)\)

Vậy, đa thức \(x^2-4\) đã được phân tích thành nhân tử là \((x-2)(x+2)\).

—

Bài tập b: Phân tích đa thức \(4x^2-y^2\) thành nhân tử.

Phân tích:

Tương tự như bài trên, chúng ta cần đưa biểu thức về dạng \(a^2 – b^2\) để áp dụng hằng đẳng thức.

Ta thấy:

\(4x^2\) có thể viết lại là \((2x)^2\) (vì \((2x)^2 = 2^2 \cdot x^2 = 4x^2\)). Vậy, ta coi \(a = 2x\).

\(y^2\) chính là bình phương của \(y\). Vậy, ta coi \(b = y\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=2x\) và \(b=y\):

\(4x^2-y^2 = (2x)^2 – y^2\)

\(= (2x-y)(2x+y)\)

Vậy, đa thức \(4x^2-y^2\) đã được phân tích thành nhân tử là \((2x-y)(2x+y)\).

—

Bài tập c: Phân tích đa thức \(x^2-1/4\) thành nhân tử.

Phân tích:

Chúng ta tiếp tục xác định \(a\) và \(b\) để áp dụng hằng đẳng thức.

Ta thấy:

\(x^2\) chính là bình phương của \(x\). Vậy, ta coi \(a = x\).

\(1/4\) có thể viết lại là \((1/2)^2\) (vì \((1/2)^2 = 1^2 / 2^2 = 1/4\)). Vậy, ta coi \(b = 1/2\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=x\) và \(b=1/2\):

\(x^2-1/4 = x^2 – (1/2)^2\)

\(= (x-1/2)(x+1/2)\)

Vậy, đa thức \(x^2-1/4\) đã được phân tích thành nhân tử là \((x-1/2)(x+1/2)\).

—

Bài tập d: Phân tích đa thức \((x+y)^2-4y^2\) thành nhân tử.

Phân tích:

Ở bài này, biểu thức cho \(a\) và \(b\) có vẻ phức tạp hơn, nhưng bản chất vẫn là hiệu của hai bình phương.

Ta thấy:

\((x+y)^2\) chính là bình phương của \((x+y)\). Vậy, ta coi \(a = x+y\).

\(4y^2\) có thể viết lại là \((2y)^2\) (vì \((2y)^2 = 4y^2\)). Vậy, ta coi \(b = 2y\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=(x+y)\) và \(b=2y\):

\((x+y)^2-4y^2 = (x+y)^2 – (2y)^2\)

\(= ((x+y) – 2y)((x+y) + 2y)\)

Bây giờ chúng ta cần rút gọn từng nhân tử trong dấu ngoặc:

\(= (x+y-2y)(x+y+2y)\)

\(= (x-y)(x+3y)\)

Vậy, đa thức \((x+y)^2-4y^2\) đã được phân tích thành nhân tử là \((x-y)(x+3y)\).

—

Bài tập e: Phân tích đa thức \(x^2-5\) thành nhân tử.

Phân tích:

Bài này có một chút đặc biệt vì số \(5\) không phải là bình phương của một số nguyên hay phân số. Tuy nhiên, trong toán học, chúng ta có thể biểu diễn mọi số dương dưới dạng bình phương của căn bậc hai của nó.

Ta thấy:

\(x^2\) chính là bình phương của \(x\). Vậy, ta coi \(a = x\).

\(5\) có thể viết là \((\sqrt{5})^2\) (vì \(\sqrt{5}\) là số mà khi bình phương lên sẽ bằng \(5\)). Vậy, ta coi \(b = \sqrt{5}\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=x\) và \(b=\sqrt{5}\):

\(x^2-5 = x^2 – (\sqrt{5})^2\)

\(= (x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\)

Vậy, đa thức \(x^2-5\) đã được phân tích thành nhân tử là \((x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})\). Các em lưu ý rằng dạng phân tích này sử dụng căn bậc hai và thường được chấp nhận khi làm việc với các số thực.

—

Bài tập f: Phân tích đa thức \(9x^2-(x+y)^2\) thành nhân tử.

Phân tích:

Đây là một bài tập tổng hợp các kỹ năng đã học, đòi hỏi sự cẩn thận khi xác định các biểu thức \(a\) và \(b\) cũng như khi rút gọn các nhân tử.

Ta thấy:

\(9x^2\) có thể viết lại là \((3x)^2\) (vì \((3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2\)). Vậy, ta coi \(a = 3x\).

\((x+y)^2\) chính là bình phương của \((x+y)\). Vậy, ta coi \(b = x+y\).

Lời giải:

Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=3x\) và \(b=(x+y)\):

\(9x^2-(x+y)^2 = (3x)^2 – (x+y)^2\)

\(= ( (3x) – (x+y) ) ( (3x) + (x+y) )\)

Bây giờ chúng ta cần rút gọn từng nhân tử. Hãy đặc biệt chú ý đến dấu trừ khi bỏ ngoặc trong nhân tử thứ nhất:

\(= (3x – x – y)(3x + x + y)\)

\(= (2x – y)(4x + y)\)

Vậy, đa thức \(9x^2-(x+y)^2\) đã được phân tích thành nhân tử là \((2x-y)(4x+y)\).

—

Hy vọng qua các bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hiệu hai bình phương. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng, vì vậy các em hãy luyện tập thêm thật nhiều để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!