Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đây là dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi cử. Chúng ta sẽ giải hệ phương trình sau:

\( \begin{cases} 5x – 4y = 3 \quad (1) \\ 7x – 9y = 8 \quad (2) \end{cases} \)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số (hay còn gọi là phương pháp khử) để giải hệ này. Mục tiêu của chúng ta là làm cho hệ số của một trong hai biến (x hoặc y) trở nên đối nhau hoặc bằng nhau trong hai phương trình, sau đó cộng hoặc trừ hai phương trình để loại bỏ biến đó và tìm ra giá trị của biến còn lại.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Xác định biến cần khử và tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các hệ số.
Chúng ta có thể chọn khử biến \(x\) hoặc biến \(y\). Ở đây, thầy sẽ chọn khử biến \(y\).
Hệ số của \(y\) trong phương trình (1) là \(-4\).
Hệ số của \(y\) trong phương trình (2) là \(-9\).
BCNN của 4 và 9 là 36. Chúng ta sẽ tìm cách biến đổi để hệ số của \(y\) trong hai phương trình trở thành \(-36\) và \(-36\), sau đó chúng ta sẽ trừ hai phương trình cho nhau để khử \(y\).

Bước 2: Nhân các phương trình với các số thích hợp để cân bằng hệ số của biến cần khử.

• Để hệ số của \(y\) trong phương trình (1) thành \(-36\), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình (1) với 9:
  
  \( 9 \times (5x – 4y) = 9 \times 3 \)
  
  \( 45x – 36y = 27 \quad (3) \)
• Để hệ số của \(y\) trong phương trình (2) thành \(-36\), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình (2) với 4:
  
  \( 4 \times (7x – 9y) = 4 \times 8 \)
  
  \( 28x – 36y = 32 \quad (4) \)

Bước 3: Trừ (hoặc cộng) hai phương trình mới để khử biến \(y\).
Vì cả hai phương trình (3) và (4) đều có hệ số của \(y\) là \(-36\), chúng ta sẽ trừ phương trình (4) cho phương trình (3) (hoặc ngược lại) để loại bỏ biến \(y\).

Lấy phương trình (3) trừ phương trình (4):

\( (45x – 36y) – (28x – 36y) = 27 – 32 \)

Mở ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc thứ hai:

\( 45x – 36y – 28x + 36y = -5 \)

Gộp các số hạng đồng dạng:

\( (45x – 28x) + (-36y + 36y) = -5 \)

\( 17x + 0y = -5 \)

\( 17x = -5 \)

Bước 4: Giải phương trình tìm được để tìm giá trị của biến \(x\).

Từ \( 17x = -5 \), ta suy ra:

\( x = -\frac{5}{17} \)

Bước 5: Thay giá trị của \(x\) vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu (1) hoặc (2) để tìm giá trị của biến \(y\).
Thầy sẽ thay \( x = -\frac{5}{17} \) vào phương trình (1):

\( 5x – 4y = 3 \)

\( 5 \times \left(-\frac{5}{17}\right) – 4y = 3 \)

\( -\frac{25}{17} – 4y = 3 \)

Bước 6: Giải phương trình để tìm giá trị của biến \(y\).

Chuyển hạng tử \( -\frac{25}{17} \) sang vế phải:

\( -4y = 3 + \frac{25}{17} \)

Để cộng hai số, chúng ta quy đồng mẫu số cho số 3 (viết 3 dưới dạng phân số có mẫu số là 17):

\( -4y = \frac{3 \times 17}{17} + \frac{25}{17} \)

\( -4y = \frac{51}{17} + \frac{25}{17} \)

\( -4y = \frac{51 + 25}{17} \)

\( -4y = \frac{76}{17} \)

Để tìm \(y\), chúng ta chia cả hai vế cho \(-4\):

\( y = \frac{76}{17} \div (-4) \)

\( y = \frac{76}{17 \times (-4)} \)

\( y = \frac{76}{-68} \)

Rút gọn phân số \( \frac{76}{-68} \) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 4:

\( y = -\frac{19}{17} \)

Bước 7: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( (x; y) = \left(-\frac{5}{17}; -\frac{19}{17}\right) \).

Kiểm tra lại nghiệm (khuyến khích các em tự làm để chắc chắn kết quả):

Thay \( x = -\frac{5}{17} \) và \( y = -\frac{19}{17} \) vào phương trình (2):

\( 7x – 9y = 8 \)

\( 7 \times \left(-\frac{5}{17}\right) – 9 \times \left(-\frac{19}{17}\right) \)

\( -\frac{35}{17} + \frac{171}{17} \)

\( \frac{171 – 35}{17} \)

\( \frac{136}{17} \)

\( 8 \)

Kết quả trùng với vế phải của phương trình (2), vậy nghiệm của chúng ta là đúng.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng toán này nhé!