Bài toán yêu cầu chúng ta giải hệ phương trình sau:

1. \(5x \sqrt{3} + y = 2 \sqrt{2}\)
2. \(x \sqrt{6} – y \sqrt{2} = 2\)

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này. Ở đây, cô sẽ hướng dẫn các em giải bằng phương pháp cộng đại số vì nó khá tiện lợi trong trường hợp này.

Bước 1: Biến đổi phương trình để có thể cộng hoặc trừ hai phương trình

Chúng ta cần làm cho hệ số của một trong hai biến (x hoặc y) ở hai phương trình bằng nhau về độ lớn nhưng trái dấu, hoặc bằng nhau về độ lớn và cùng dấu để ta có thể cộng hoặc trừ.

Nhìn vào hệ số của \(y\), ta thấy ở phương trình 1 là \(+y\) và ở phương trình 2 là \(-y\sqrt{2}\).
Để hệ số của \(y\) bằng nhau về độ lớn, chúng ta có thể nhân phương trình 1 với \(\sqrt{2}\).

Nhân cả hai vế của phương trình 1 với \(\sqrt{2}\), ta được:

\(\sqrt{2} \times (5x \sqrt{3} + y) = \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}\)
\(5x \sqrt{3} \times \sqrt{2} + y \times \sqrt{2} = 2 \times (\sqrt{2})^2\)
\(5x \sqrt{6} + y \sqrt{2} = 2 \times 2\)
3. \(5x \sqrt{6} + y \sqrt{2} = 4\)

Bây giờ, chúng ta có hệ mới gồm phương trình 2 và phương trình 3:

2. \(x \sqrt{6} – y \sqrt{2} = 2\)
3. \(5x \sqrt{6} + y \sqrt{2} = 4\)

Bước 2: Cộng hai phương trình để khử một ẩn

Quan sát hai phương trình 2 và 3, ta thấy hệ số của \(y\) là \(-y\sqrt{2}\) và \(+y\sqrt{2}\). Khi cộng hai phương trình này lại, ẩn \(y\) sẽ bị triệt tiêu.

Cộng vế theo vế của phương trình 2 và phương trình 3:

\((x \sqrt{6} – y \sqrt{2}) + (5x \sqrt{6} + y \sqrt{2}) = 2 + 4\)
\(x \sqrt{6} + 5x \sqrt{6} – y \sqrt{2} + y \sqrt{2} = 6\)
\(6x \sqrt{6} = 6\)

Bước 3: Giải tìm ẩn còn lại

Từ phương trình \(6x \sqrt{6} = 6\), chúng ta giải tìm \(x\):

\(x = \frac{6}{6 \sqrt{6}}\)
\(x = \frac{1}{\sqrt{6}}\)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{6}\):

\(x = \frac{1 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}\)
\(x = \frac{\sqrt{6}}{6}\)

Vậy, chúng ta đã tìm được giá trị của \(x\).

Bước 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại

Chúng ta sẽ thế giá trị \(x = \frac{\sqrt{6}}{6}\) vào phương trình 1: \(5x \sqrt{3} + y = 2 \sqrt{2}\).

\(5 \times \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) \times \sqrt{3} + y = 2 \sqrt{2}\)
\(\frac{5 \sqrt{6} \sqrt{3}}{6} + y = 2 \sqrt{2}\)
\(\frac{5 \sqrt{18}}{6} + y = 2 \sqrt{2}\)

Ta rút gọn \(\sqrt{18}\): \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\).

Thay vào phương trình trên:

\(\frac{5 \times 3\sqrt{2}}{6} + y = 2 \sqrt{2}\)
\(\frac{15\sqrt{2}}{6} + y = 2 \sqrt{2}\)

Rút gọn phân số \(\frac{15}{6}\):

\(\frac{5\sqrt{2}}{2} + y = 2 \sqrt{2}\)

Bây giờ, ta giải tìm \(y\):

\(y = 2 \sqrt{2} – \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Quy đồng mẫu số để trừ hai số có chứa \(\sqrt{2}\):

\(y = \frac{2 \times 2 \sqrt{2}}{2} – \frac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(y = \frac{4 \sqrt{2}}{2} – \frac{5\sqrt{2}}{2}\)
\(y = \frac{4 \sqrt{2} – 5\sqrt{2}}{2}\)
\(y = \frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy là chúng ta đã tìm được giá trị của \(y\).

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (Tùy chọn nhưng nên làm)

Chúng ta có thể thế giá trị của \(x = \frac{\sqrt{6}}{6}\) và \(y = \frac{-\sqrt{2}}{2}\) vào cả hai phương trình ban đầu để xem chúng có thỏa mãn hay không.

Kiểm tra với phương trình 1: \(5x \sqrt{3} + y = 2 \sqrt{2}\)

\(5 \times \left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) \times \sqrt{3} + \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(= \frac{5\sqrt{18}}{6} – \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \frac{5 \times 3\sqrt{2}}{6} – \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \frac{15\sqrt{2}}{6} – \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \frac{5\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(= \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\) (Thỏa mãn)

Kiểm tra với phương trình 2: \(x \sqrt{6} – y \sqrt{2} = 2\)

\(\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right) \times \sqrt{6} – \left(\frac{-\sqrt{2}}{2}\right) \times \sqrt{2}\)
\( = \frac{(\sqrt{6})^2}{6} – \left(\frac{-\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2}\right)\)
\( = \frac{6}{6} – \left(\frac{-2}{2}\right)\)
\( = 1 – (-1)\)
\( = 1 + 1 = 2\) (Thỏa mãn)

Cả hai phương trình đều thỏa mãn, vậy nghiệm của hệ phương trình là chính xác.

Kết luận:

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

\(x = \frac{\sqrt{6}}{6}\)
\(y = \frac{-\sqrt{2}}{2}\)

Các em thấy đó, việc giải hệ phương trình yêu cầu sự cẩn thận trong từng bước tính toán, đặc biệt là khi làm việc với các biểu thức chứa căn thức. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé!