Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Bài toán này liên quan đến bất đẳng thức và có thể được giải quyết bằng nhiều cách khác nhau. Thầy sẽ trình bày một cách chi tiết để các em dễ theo dõi nhé.

Bài toán:

Cho hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(9x^2+4y^2=36\). Hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=xy\).

Lời giải:

Chúng ta có điều kiện là \(9x^2+4y^2=36\). Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=xy\).

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Trước hết, chúng ta biến đổi biểu thức \(P\) một chút. Ta có \(P = xy\). Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta cần có các bình phương và tích của các biến. Chúng ta có thể viết \(P^2 = (xy)^2\).

Ta nhận thấy \(9x^2\) và \(4y^2\) đều là các số không âm.

Xét biểu thức \(P^2 = (xy)^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot y\right)^2\). Điều này chưa tiện lắm.

Hãy thử cách khác. Ta có thể viết \(P = xy\). Nhân cả hai vế với một hằng số thích hợp để có thể áp dụng bất đẳng thức.

Xét \(P^2 = (xy)^2\). Ta cần liên hệ nó với \(9x^2+4y^2\).

Ta có thể viết \(P = \frac{1}{6} \cdot (3x) \cdot (2y)\). Lấy bình phương hai vế:

\(P^2 = \left(\frac{1}{6} \cdot (3x) \cdot (2y)\right)^2 = \frac{1}{36} \cdot (3x)^2 \cdot (2y)^2 = \frac{1}{36} \cdot 9x^2 \cdot 4y^2\).

Bây giờ chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dưới dạng:

\((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2)^2\)

Hoặc dưới dạng:

\((u_1v_1 + u_2v_2)^2 \leq (u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2)\)

Trong trường hợp này, ta có thể xem \(9x^2\) và \(4y^2\) là các số hạng trong tổng.

Xét \(P = xy\). Ta có thể viết nó dưới dạng:

\(P = \frac{1}{2} (2xy)\).

Để sử dụng \(9x^2\) và \(4y^2\), ta có thể nghĩ đến bất đẳng thức AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz.

Hãy xem xét \( (3x)^2 + (2y)^2 = 9x^2 + 4y^2 = 36 \).

Bây giờ, ta cần liên hệ \(xy\) với \(3x\) và \(2y\).

Ta có thể viết \(xy = \frac{1}{6} (3x)(2y)\).

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Xét hai bộ số \((a_1, a_2) = (3x, 2y)\) và \((b_1, b_2) = (u, v)\) sao cho \(a_1b_1+a_2b_2\) liên quan đến \(xy\).

Ta có thể sử dụng một dạng khác của Cauchy-Schwarz:

\((u_1^2 + u_2^2)(v_1^2 + v_2^2) \geq (u_1v_1 + u_2v_2)^2\)

Chọn \(u_1 = 3x\), \(u_2 = 2y\). Thì \(u_1^2 + u_2^2 = 9x^2 + 4y^2 = 36\).

Bây giờ, ta cần chọn \(v_1\) và \(v_2\) sao cho \(u_1v_1 + u_2v_2\) có dạng \(xy\).

Nếu ta chọn \(v_1 = k \cdot y\) và \(v_2 = l \cdot x\), thì \(u_1v_1 + u_2v_2 = 3x(ky) + 2y(lx) = 3kxy + 2lxy = (3k+2l)xy\). Chúng ta muốn \(3k+2l = 1\).

Tuy nhiên, cách này khá phức tạp.

Hãy thử một cách tiếp cận đơn giản hơn.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cô – si).

Ta có \(9x^2 \geq 0\) và \(4y^2 \geq 0\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm \(9x^2\) và \(4y^2\):

\(\frac{9x^2 + 4y^2}{2} \geq \sqrt{9x^2 \cdot 4y^2}\)

Thay \(9x^2+4y^2=36\) vào bất đẳng thức:

\(\frac{36}{2} \geq \sqrt{36x^2y^2}\)

\(18 \geq \sqrt{(6xy)^2}\)

\(18 \geq |6xy|\)

Điều này có nghĩa là \(-18 \leq 6xy \leq 18\).

Chia cả ba vế cho 6:

\(-\frac{18}{6} \leq xy \leq \frac{18}{6}\)

\( -3 \leq xy \leq 3 \)

Vậy, giá trị lớn nhất của \(P = xy\) là 3.

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” trong bất đẳng thức AM-GM xảy ra khi hai số hạng bằng nhau, tức là:

\(9x^2 = 4y^2\)

Kết hợp với điều kiện \(9x^2+4y^2=36\):

Thay \(9x^2 = 4y^2\) vào phương trình điều kiện:

\(4y^2 + 4y^2 = 36\)

\(8y^2 = 36\)

\(y^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}\)

\(y = \pm \sqrt{\frac{9}{2}} = \pm \frac{3}{\sqrt{2}} = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Khi \(9x^2 = 4y^2\), ta cũng có \(9x^2 = 18\), suy ra \(x^2 = \frac{18}{9} = 2\).

\(x = \pm \sqrt{2}\)

Để \(xy\) đạt giá trị lớn nhất là 3, \(x\) và \(y\) phải cùng dấu.

Trường hợp 1: \(x = \sqrt{2}\) và \(y = \frac{3\sqrt{2}}{2}\).

\(xy = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\). Điều này thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(x = -\sqrt{2}\) và \(y = -\frac{3\sqrt{2}}{2}\).

\(xy = (-\sqrt{2}) \cdot (-\frac{3\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3\). Điều này cũng thỏa mãn.

Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số hóa (nếu có thể).

Phương trình \(9x^2+4y^2=36\) có dạng của một ellipse. Ta có thể chia cả hai vế cho 36:

\(\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36}\)

\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\)

Đây là phương trình của một ellipse với trục bán trục lớn trên trục \(y\) có độ dài \(a=3\) và trục bán trục nhỏ trên trục \(x\) có độ dài \(b=2\).

Ta có thể tham số hóa \(x\) và \(y\) như sau:

\(x = 2\cos(t)\)

\(y = 3\sin(t)\)

với \(t \in [0, 2\pi)\).

Bây giờ, ta thay vào biểu thức \(P=xy\):

\(P = (2\cos(t))(3\sin(t)) = 6\cos(t)\sin(t)\)

Sử dụng công thức nhân đôi:

\(P = 3(2\sin(t)\cos(t)) = 3\sin(2t)\)

Giá trị lớn nhất của hàm \(\sin(\theta)\) là 1.

Do đó, giá trị lớn nhất của \(P = 3\sin(2t)\) là \(3 \cdot 1 = 3\).

Giá trị lớn nhất này đạt được khi \(\sin(2t) = 1\).

\(2t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)

\(t = \frac{\pi}{4} + k\pi\)

Ví dụ, với \(k=0\), ta có \(t = \frac{\pi}{4}\).

\(x = 2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)

\(y = 3\sin(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Khi đó \(xy = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 3\).

Kết luận:

Với cả ba cách giải, chúng ta đều thu được kết quả là giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=xy\) là 3.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=xy\) là 3.

Các em thấy bài toán này thú vị không nào? Chúng ta đã áp dụng được các kiến thức về bất đẳng thức để giải quyết bài toán. Các em hãy ôn tập kỹ các bất đẳng thức đã học nhé.