Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong chương trình Toán học của chúng ta đấy. Cô sẽ hướng dẫn chi tiết từng câu một.

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a. \(x^3 – 6x^2 + 12x – 8\)

Các em hãy quan sát đa thức này. Chúng ta thấy có \(x^3\) và hằng số -8. Chúng ta thử nghĩ xem liệu nó có liên quan đến hằng đẳng thức lập phương của một hiệu không nhé. Công thức là \((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\).

Ở đây, \(A^3 = x^3\), vậy \(A = x\).

Và \(B^3 = 8\), vậy \(B = 2\).

Bây giờ chúng ta kiểm tra lại các số hạng ở giữa:

\(-3A^2B = -3(x^2)(2) = -6x^2\). Đúng rồi!

\(3AB^2 = 3(x)(2^2) = 3(x)(4) = 12x\). Cũng đúng luôn!

Vậy, đa thức đã cho chính là dạng khai triển của \((x – 2)^3\).

\(x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = (x – 2)^3\)

b. \(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)

Tương tự như câu a, chúng ta cũng nhận thấy đa thức này có dạng khai triển của một lập phương. Lần này là lập phương của một tổng: \((A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3\).

Ở đây, \(A^3 = 8x^3\), vậy \(A = 2x\).

Và \(B^3 = y^3\), vậy \(B = y\).

Kiểm tra lại các số hạng ở giữa:

\(3A^2B = 3(2x)^2(y) = 3(4x^2)(y) = 12x^2y\). Đúng!

\(3AB^2 = 3(2x)(y^2) = 6xy^2\). Cũng đúng!

Vậy, đa thức đã cho là khai triển của \((2x + y)^3\).

\(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 = (2x + y)^3\)

c. \(x^3 + \frac{1}{27}\)

Câu này chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\).

Ở đây, \(A^3 = x^3\), vậy \(A = x\).

Và \(B^3 = \frac{1}{27}\), vậy \(B = \frac{1}{3}\) vì \((\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}\).

Áp dụng công thức:

\(x^3 + \frac{1}{27} = (x + \frac{1}{3})(x^2 – x \cdot \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2) = (x + \frac{1}{3})(x^2 – \frac{1}{3}x + \frac{1}{9})\)

d. \(x^3 + 8\)

Tương tự câu c, chúng ta lại dùng hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\).

Ở đây, \(A^3 = x^3\), vậy \(A = x\).

Và \(B^3 = 8\), vậy \(B = 2\).

Áp dụng công thức:

\(x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – x \cdot 2 + 2^2) = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)

e. \(8y^3 – x^3\)

Câu này chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\).

Ở đây, \(A^3 = 8y^3\), vậy \(A = 2y\).

Và \(B^3 = x^3\), vậy \(B = x\).

Áp dụng công thức:

\(8y^3 – x^3 = (2y – x)((2y)^2 + (2y)x + x^2) = (2y – x)(4y^2 + 2xy + x^2)\)

c. \(8x^3 + 27y^3\)

Tiếp tục với hằng đẳng thức tổng hai lập phương: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)\).

Ở đây, \(A^3 = 8x^3\), vậy \(A = 2x\).

Và \(B^3 = 27y^3\), vậy \(B = 3y\).

Áp dụng công thức:

\(8x^3 + 27y^3 = (2x + 3y)((2x)^2 – (2x)(3y) + (3y)^2) = (2x + 3y)(4x^2 – 6xy + 9y^2)\)

g. \(8x^3 – 1\)

Chúng ta lại dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\).

Ở đây, \(A^3 = 8x^3\), vậy \(A = 2x\).

Và \(B^3 = 1\), vậy \(B = 1\).

Áp dụng công thức:

\(8x^3 – 1 = (2x – 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x – 1)(4x^2 + 2x + 1)\)

h. \((a+b)^3 – (a-b)^3\)

Đây là một dạng hiệu hai lập phương, nhưng các “số hạng” ở đây lại là các biểu thức. Chúng ta vẫn áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \(A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)\).

Ở đây, \(A = (a+b)\) và \(B = (a-b)\).

Phần \(A – B\): \((a+b) – (a-b) = a + b – a + b = 2b\).

Phần \(A^2 + AB + B^2\):

\(A^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\(B^2 = (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

\(AB = (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\)

Vậy, \(A^2 + AB + B^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 – b^2) + (a^2 – 2ab + b^2)\)

\(= a^2 + 2ab + b^2 + a^2 – b^2 + a^2 – 2ab + b^2\)

\(= (a^2 + a^2 + a^2) + (2ab – 2ab) + (b^2 – b^2 + b^2)\)

\(= 3a^2 + b^2\).

Ghép lại:

\((a+b)^3 – (a-b)^3 = (2b)(3a^2 + b^2)\)

k. \(x^6 – y^6\)

Đối với câu này, chúng ta có thể phân tích theo hai cách. Cách thứ nhất là coi nó là hiệu hai lập phương, cách thứ hai là hiệu hai bình phương. Cô sẽ hướng dẫn theo cách hiệu hai bình phương trước vì nó sẽ đơn giản hơn.

Ta có: \(x^6 = (x^3)^2\) và \(y^6 = (y^3)^2\).

Vậy, \(x^6 – y^6 = (x^3)^2 – (y^3)^2\). Đây là dạng hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\).

Với \(A = x^3\) và \(B = y^3\).

\(x^6 – y^6 = (x^3 – y^3)(x^3 + y^3)\)

Bây giờ, chúng ta tiếp tục phân tích hai nhân tử \(x^3 – y^3\) và \(x^3 + y^3\) bằng cách sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương và tổng hai lập phương.

\(x^3 – y^3 = (x – y)(x^2 + xy + y^2)\)

\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 – xy + y^2)\)

Ghép lại, ta có kết quả cuối cùng:

\(x^6 – y^6 = (x – y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 – xy + y^2)\)

Chúng ta có thể sắp xếp lại các nhân tử để trông đẹp mắt hơn:

\(x^6 – y^6 = (x – y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 – xy + y^2)\)

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để ghi nhớ các hằng đẳng thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô!