Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau so sánh các cặp số có chứa căn bậc hai mà không sử dụng máy tính cầm tay nhé. Đây là một dạng bài rất hay, giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi và tư duy toán học.

Chúng ta cùng bắt đầu nào!

---

Bài 1: So sánh \(-6\sqrt{5}\) và \(-5\sqrt{6}\)

Phương pháp: Khi so sánh hai số âm, ta thường so sánh giá trị tuyệt đối của chúng. Số âm nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: So sánh giá trị tuyệt đối của hai số.

Chúng ta cần so sánh \(|-6\sqrt{5}|\) và \(|-5\sqrt{6}|\), tức là so sánh \(6\sqrt{5}\) và \(5\sqrt{6}\).

Bước 2: Bình phương cả hai số để loại bỏ dấu căn.

Ta có:

• \((6\sqrt{5})^2 = 6^2 \times (\sqrt{5})^2 = 36 \times 5 = 180\)
• \((5\sqrt{6})^2 = 5^2 \times (\sqrt{6})^2 = 25 \times 6 = 150\)

Bước 3: So sánh kết quả bình phương.

Vì \(180 > 150\), nên \((6\sqrt{5})^2 > (5\sqrt{6})^2\).

Do cả \(6\sqrt{5}\) và \(5\sqrt{6}\) đều là các số dương, từ \((6\sqrt{5})^2 > (5\sqrt{6})^2\) suy ra \(6\sqrt{5} > 5\sqrt{6}\).

Bước 4: Kết luận cho cặp số âm ban đầu.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức sẽ đổi chiều.

Vì \(6\sqrt{5} > 5\sqrt{6}\), nhân cả hai vế với \(-1\) ta được:

\(-6\sqrt{5} < -5\sqrt{6}\)

Kết luận: Vậy, \(-6\sqrt{5} < -5\sqrt{6}\).

---

Bài 2: So sánh \(\sqrt{8} – 1\) và \(2\)

Phương pháp: Chúng ta sẽ tìm cách đưa các số về cùng dạng (ví dụ: cùng dạng căn bậc hai) hoặc biến đổi bất đẳng thức để so sánh dễ dàng hơn.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chuyển vế số hạng để cô lập căn bậc hai.

Để so sánh \(\sqrt{8} – 1\) và \(2\), ta có thể cộng \(1\) vào cả hai vế của bất đẳng thức (việc này không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức).

Ta cần so sánh \(\sqrt{8}\) và \(2 + 1\), tức là so sánh \(\sqrt{8}\) và \(3\).

Bước 2: Bình phương cả hai số để loại bỏ dấu căn.

Vì cả \(\sqrt{8}\) và \(3\) đều là các số dương, ta có thể bình phương chúng để so sánh:

• \((\sqrt{8})^2 = 8\)
• \(3^2 = 9\)

Bước 3: So sánh kết quả bình phương.

Vì \(8 < 9\), nên \((\sqrt{8})^2 < 3^2\).

Do cả \(\sqrt{8}\) và \(3\) đều là các số dương, suy ra \(\sqrt{8} < 3\).

Bước 4: Kết luận cho cặp số ban đầu.

Vì \(\sqrt{8} < 3\), trừ \(1\) vào cả hai vế (việc này không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức), ta được:

\(\sqrt{8} – 1 < 3 - 1\)

\(\sqrt{8} – 1 < 2\)

Kết luận: Vậy, \(\sqrt{8} – 1 < 2\).

---

Bài 3: So sánh \(\sqrt{8} + \sqrt{15}\) và \(\sqrt{65} – 1\)

Phương pháp: Với những biểu thức phức tạp hơn, chúng ta có thể chuyển các số hạng không chứa căn hoặc số hạng có căn đơn giản sang một vế để việc bình phương thuận tiện hơn. Trong trường hợp này, việc đưa \(-1\) sang vế kia sẽ giúp cả hai vế đều là số dương, thuận lợi cho việc bình phương.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chuyển số hạng không chứa căn sang vế có biểu thức phức tạp hơn.

Chúng ta cần so sánh \(\sqrt{8} + \sqrt{15}\) và \(\sqrt{65} – 1\).

Cộng \(1\) vào cả hai vế, ta được biểu thức cần so sánh mới là:

\(\sqrt{8} + \sqrt{15} + 1\) và \(\sqrt{65}\).

Lúc này, cả hai vế đều là số dương, ta có thể bình phương chúng để so sánh.

Bước 2: Bình phương cả hai vế.

• Tính bình phương vế trái:
  
  \((\sqrt{8} + \sqrt{15} + 1)^2\)
  
  Đây là dạng \((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\).
  
  Với \(a = \sqrt{8}\), \(b = \sqrt{15}\), \(c = 1\).

  \(= (\sqrt{8})^2 + (\sqrt{15})^2 + 1^2 + 2\sqrt{8}\sqrt{15} + 2\sqrt{8}(1) + 2\sqrt{15}(1)\)

  \(= 8 + 15 + 1 + 2\sqrt{8 \times 15} + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{15}\)

  \(= 24 + 2\sqrt{120} + 2\sqrt{8} + 2\sqrt{15}\)

  Rút gọn các căn thức:

  • \(\sqrt{120} = \sqrt{4 \times 30} = 2\sqrt{30}\)
  • \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)

  Thay vào biểu thức:

  \(= 24 + 2(2\sqrt{30}) + 2(2\sqrt{2}) + 2\sqrt{15}\)

  \(= 24 + 4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15}\)

• Tính bình phương vế phải:
  
  \((\sqrt{65})^2 = 65\)

Bước 3: So sánh hai biểu thức sau khi bình phương.

Ta cần so sánh \(24 + 4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15}\) với \(65\).

Trừ \(24\) từ cả hai vế, ta cần so sánh \(4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15}\) với \(65 – 24 = 41\).

Bước 4: Ước lượng giá trị của các căn thức để so sánh.

Chúng ta sẽ tìm các cận trên cho từng căn thức bằng cách so sánh với các số chính phương gần nhất:

• Với \(\sqrt{30}\):

  Ta biết \(5^2 = 25\) và \(6^2 = 36\). Vậy \(5 < \sqrt{30} < 6\).

  Để chính xác hơn, ta có \(5.4^2 = 29.16\) và \(5.5^2 = 30.25\).
  
  Vậy \(5.4 < \sqrt{30} < 5.5\).

  Suy ra \(4\sqrt{30} < 4 \times 5.5 = 22\).

• Với \(\sqrt{2}\):

  Ta biết \(1^2 = 1\) và \(2^2 = 4\). Vậy \(1 < \sqrt{2} < 2\).

  Chính xác hơn, ta có \(1.4^2 = 1.96\) và \(1.5^2 = 2.25\).
  
  Vậy \(1.4 < \sqrt{2} < 1.5\).

  Suy ra \(4\sqrt{2} < 4 \times 1.5 = 6\).

• Với \(\sqrt{15}\):

  Ta biết \(3^2 = 9\) và \(4^2 = 16\). Vậy \(3 < \sqrt{15} < 4\).

  Chính xác hơn, ta có \(3.8^2 = 14.44\) và \(3.9^2 = 15.21\).
  
  Vậy \(3.8 < \sqrt{15} < 3.9\).

  Suy ra \(2\sqrt{15} < 2 \times 3.9 = 7.8\).

Cộng các cận trên lại:

\(4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15} < 22 + 6 + 7.8 = 35.8\)

Bước 5: So sánh tổng các cận trên với số \(41\).

Vì \(35.8 < 41\), ta có thể kết luận rằng:

\(4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15} < 41\)

Quay lại bước 3, điều này có nghĩa là:

\(24 + 4\sqrt{30} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{15} < 24 + 41 = 65\)

Vậy, \((\sqrt{8} + \sqrt{15} + 1)^2 < (\sqrt{65})^2\).

Do cả \(\sqrt{8} + \sqrt{15} + 1\) và \(\sqrt{65}\) đều là các số dương, từ bất đẳng thức bình phương ta suy ra:

\(\sqrt{8} + \sqrt{15} + 1 < \sqrt{65}\)

Bước 6: Kết luận cho cặp số ban đầu.

Trừ \(1\) từ cả hai vế:

\(\sqrt{8} + \sqrt{15} < \sqrt{65} - 1\)

Kết luận: Vậy, \(\sqrt{8} + \sqrt{15} < \sqrt{65} - 1\).

---

Các em thấy không, để so sánh các số có chứa căn bậc hai mà không dùng máy tính, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các kiến thức về bình phương, giá trị tuyệt đối và ước lượng giá trị của căn thức. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé!