1. Tích của hai lũy thừa cùng cơ số: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

2. Thương của hai lũy thừa cùng cơ số: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (với \( a \neq 0, m \geq n \))

3. Lũy thừa của một lũy thừa: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

4. Lũy thừa của một tích: \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

5. Lũy thừa của một thương: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \) (với \( b \neq 0 \))

6. Quy tắc quan trọng: Khi gặp các cơ số là hợp số (ví dụ: 4, 6, 8, 9, 12, 15, 20, 25, 27…), các em hãy phân tích chúng ra thừa số nguyên tố trước. Điều này sẽ giúp các em dễ dàng áp dụng các quy tắc trên hơn.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt đầu giải từng bài nhé!

Bài 7: Rút gọn biểu thức \( \frac{2^{7} \times 9^{3}}{6^{5} \times 8^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

Chúng ta có:

\( 9 = 3^2 \)

\( 6 = 2 \times 3 \)

\( 8 = 2^3 \)

Bước 2: Thay thế các cơ số đã phân tích vào biểu thức ban đầu.

\( \frac{2^{7} \times (3^2)^{3}}{(2 \times 3)^{5} \times (2^3)^{2}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa của một lũy thừa \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) và lũy thừa của một tích \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \).

\( \frac{2^{7} \times 3^{2 \times 3}}{2^{5} \times 3^{5} \times 2^{3 \times 2}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{5} \times 3^{5} \times 2^{6}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số ở tử số và mẫu số.

Ở tử số: \( 2^{7} \times 3^{6} \) (đã gọn)

Ở mẫu số: \( 2^{5} \times 2^{6} \times 3^{5} = 2^{5+6} \times 3^{5} = 2^{11} \times 3^{5} \)

Biểu thức trở thành: \( \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{11} \times 3^{5}} \)

Bước 5: Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Với cơ số 2: \( \frac{2^{7}}{2^{11}} = 2^{7-11} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} \) (hoặc các em có thể hiểu là 4 thừa số 2 ở mẫu số sẽ còn lại)

Với cơ số 3: \( \frac{3^{6}}{3^{5}} = 3^{6-5} = 3^1 = 3 \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( \frac{3}{2^4} \)

Bước 6: Tính giá trị của lũy thừa còn lại.

\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)

Kết quả cuối cùng: \( \frac{3}{16} \)

Trả lời:

\( \frac{2^{7} \times 9^{3}}{6^{5} \times 8^{2}} = \frac{2^{7} \times (3^2)^{3}}{(2 \times 3)^{5} \times (2^3)^{2}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{5} \times 3^{5} \times 2^{6}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{5+6} \times 3^{5}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{11} \times 3^{5}} \)

\( = \frac{3^{6-5}}{2^{11-7}} \)

\( = \frac{3^{1}}{2^{4}} \)

\( = \frac{3}{16} \)

Bài 8: Rút gọn biểu thức \( \frac{2^{15} \times 9^{4}}{6^{6} \times 8^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Các em hãy áp dụng các bước tương tự như Bài 7 nhé!

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

\( 9 = 3^2 \)

\( 6 = 2 \times 3 \)

\( 8 = 2^3 \)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức.

\( \frac{2^{15} \times (3^2)^{4}}{(2 \times 3)^{6} \times (2^3)^{3}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa.

\( = \frac{2^{15} \times 3^{2 \times 4}}{2^{6} \times 3^{6} \times 2^{3 \times 3}} \)

\( = \frac{2^{15} \times 3^{8}}{2^{6} \times 3^{6} \times 2^{9}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số.

Tử số: \( 2^{15} \times 3^{8} \)

Mẫu số: \( 2^{6+9} \times 3^{6} = 2^{15} \times 3^{6} \)

Biểu thức trở thành: \( \frac{2^{15} \times 3^{8}}{2^{15} \times 3^{6}} \)

Bước 5: Chia các lũy thừa cùng cơ số.

Với cơ số 2: \( \frac{2^{15}}{2^{15}} = 2^{15-15} = 2^0 = 1 \)

Với cơ số 3: \( \frac{3^{8}}{3^{6}} = 3^{8-6} = 3^2 \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( 1 \times 3^2 \)

Bước 6: Tính giá trị.

\( 3^2 = 9 \)

Trả lời:

\( \frac{2^{15} \times 9^{4}}{6^{6} \times 8^{3}} = \frac{2^{15} \times (3^2)^{4}}{(2 \times 3)^{6} \times (2^3)^{3}} \)

\( = \frac{2^{15} \times 3^{8}}{2^{6} \times 3^{6} \times 2^{9}} \)

\( = \frac{2^{15} \times 3^{8}}{2^{6+9} \times 3^{6}} \)

\( = \frac{2^{15} \times 3^{8}}{2^{15} \times 3^{6}} \)

\( = 2^{15-15} \times 3^{8-6} \)

\( = 2^0 \times 3^2 \)

\( = 1 \times 9 \)

\( = 9 \)

Bài 9: Rút gọn biểu thức \( \frac{2^{7} \times 9^{3}}{6^{3} \times 8^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Lại một bài tương tự nữa! Cố gắng tự làm rồi đối chiếu kết quả nhé các em.

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

\( 9 = 3^2 \)

\( 6 = 2 \times 3 \)

\( 8 = 2^3 \)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức.

\( \frac{2^{7} \times (3^2)^{3}}{(2 \times 3)^{3} \times (2^3)^{2}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa.

\( = \frac{2^{7} \times 3^{2 \times 3}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{3 \times 2}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{6}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số.

Tử số: \( 2^{7} \times 3^{6} \)

Mẫu số: \( 2^{3+6} \times 3^{3} = 2^{9} \times 3^{3} \)

Biểu thức trở thành: \( \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{9} \times 3^{3}} \)

Bước 5: Chia các lũy thừa cùng cơ số.

Với cơ số 2: \( \frac{2^{7}}{2^{9}} = 2^{7-9} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} \)

Với cơ số 3: \( \frac{3^{6}}{3^{3}} = 3^{6-3} = 3^3 \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( \frac{3^3}{2^2} \)

Bước 6: Tính giá trị.

\( 3^3 = 27 \)

\( 2^2 = 4 \)

Kết quả: \( \frac{27}{4} \)

Trả lời:

\( \frac{2^{7} \times 9^{3}}{6^{3} \times 8^{2}} = \frac{2^{7} \times (3^2)^{3}}{(2 \times 3)^{3} \times (2^3)^{2}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{3} \times 3^{3} \times 2^{6}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{3+6} \times 3^{3}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{6}}{2^{9} \times 3^{3}} \)

\( = \frac{3^{6-3}}{2^{9-7}} \)

\( = \frac{3^{3}}{2^{2}} \)

\( = \frac{27}{4} \)

Bài 10: Rút gọn biểu thức \( \frac{6^{7} \times 4^{2}}{9^{2} \times 12^{5}} \)

Hướng dẫn giải:

Bài này có nhiều cơ số khác nhau, nhưng phương pháp vẫn không đổi.

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

\( 6 = 2 \times 3 \)

\( 4 = 2^2 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 12 = 2^2 \times 3 \)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức.

\( \frac{(2 \times 3)^{7} \times (2^2)^{2}}{(3^2)^{2} \times (2^2 \times 3)^{5}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa.

\( = \frac{2^{7} \times 3^{7} \times 2^{2 \times 2}}{3^{2 \times 2} \times (2^2)^{5} \times 3^{5}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{7} \times 2^{4}}{3^{4} \times 2^{10} \times 3^{5}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số.

Tử số: \( 2^{7} \times 2^{4} \times 3^{7} = 2^{7+4} \times 3^{7} = 2^{11} \times 3^{7} \)

Mẫu số: \( 2^{10} \times 3^{4} \times 3^{5} = 2^{10} \times 3^{4+5} = 2^{10} \times 3^{9} \)

Biểu thức trở thành: \( \frac{2^{11} \times 3^{7}}{2^{10} \times 3^{9}} \)

Bước 5: Chia các lũy thừa cùng cơ số.

Với cơ số 2: \( \frac{2^{11}}{2^{10}} = 2^{11-10} = 2^1 = 2 \)

Với cơ số 3: \( \frac{3^{7}}{3^{9}} = 3^{7-9} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( \frac{2}{3^2} \)

Bước 6: Tính giá trị.

\( 3^2 = 9 \)

Kết quả: \( \frac{2}{9} \)

Trả lời:

\( \frac{6^{7} \times 4^{2}}{9^{2} \times 12^{5}} = \frac{(2 \times 3)^{7} \times (2^2)^{2}}{(3^2)^{2} \times (2^2 \times 3)^{5}} \)

\( = \frac{2^{7} \times 3^{7} \times 2^{4}}{3^{4} \times (2^2)^{5} \times 3^{5}} \)

\( = \frac{2^{7+4} \times 3^{7}}{3^{4+5} \times 2^{10}} \)

\( = \frac{2^{11} \times 3^{7}}{3^{9} \times 2^{10}} \)

\( = 2^{11-10} \times 3^{7-9} \)

\( = 2^1 \times 3^{-2} \)

\( = 2 \times \frac{1}{3^2} \)

\( = \frac{2}{9} \)

Bài 11: Rút gọn biểu thức \( \frac{15^{2} \times 9^{3}}{25^{3} \times 27^{2}} \)

Hướng dẫn giải:

Các em thấy bài này có các cơ số 5 và 3 xuất hiện khá nhiều. Hãy phân tích cẩn thận nhé!

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

\( 15 = 3 \times 5 \)

\( 9 = 3^2 \)

\( 25 = 5^2 \)

\( 27 = 3^3 \)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức.

\( \frac{(3 \times 5)^{2} \times (3^2)^{3}}{(5^2)^{3} \times (3^3)^{2}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa.

\( = \frac{3^{2} \times 5^{2} \times 3^{2 \times 3}}{5^{2 \times 3} \times 3^{3 \times 2}} \)

\( = \frac{3^{2} \times 5^{2} \times 3^{6}}{5^{6} \times 3^{6}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số.

Tử số: \( 3^{2} \times 3^{6} \times 5^{2} = 3^{2+6} \times 5^{2} = 3^{8} \times 5^{2} \)

Mẫu số: \( 3^{6} \times 5^{6} \) (đã gọn)

Biểu thức trở thành: \( \frac{3^{8} \times 5^{2}}{3^{6} \times 5^{6}} \)

Bước 5: Chia các lũy thừa cùng cơ số.

Với cơ số 3: \( \frac{3^{8}}{3^{6}} = 3^{8-6} = 3^2 \)

Với cơ số 5: \( \frac{5^{2}}{5^{6}} = 5^{2-6} = 5^{-4} = \frac{1}{5^4} \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( \frac{3^2}{5^4} \)

Bước 6: Tính giá trị.

\( 3^2 = 9 \)

\( 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 25 \times 25 = 625 \)

Kết quả: \( \frac{9}{625} \)

Trả lời:

\( \frac{15^{2} \times 9^{3}}{25^{3} \times 27^{2}} = \frac{(3 \times 5)^{2} \times (3^2)^{3}}{(5^2)^{3} \times (3^3)^{2}} \)

\( = \frac{3^{2} \times 5^{2} \times 3^{6}}{5^{6} \times 3^{6}} \)

\( = \frac{3^{2+6} \times 5^{2}}{5^{6} \times 3^{6}} \)

\( = \frac{3^{8} \times 5^{2}}{3^{6} \times 5^{6}} \)

\( = \frac{3^{8-6}}{5^{6-2}} \)

\( = \frac{3^{2}}{5^{4}} \)

\( = \frac{9}{625} \)

Bài 12: Rút gọn biểu thức \( \frac{5^{4} \times 20^{4}}{25^{5} \times 4^{5}} \)

Hướng dẫn giải:

Bài cuối cùng rồi! Các em hãy chú ý phân tích kỹ các cơ số nhé.

Bước 1: Phân tích các cơ số là hợp số ra thừa số nguyên tố.

\( 20 = 2^2 \times 5 \) (hoặc \( 4 \times 5 \))

\( 25 = 5^2 \)

\( 4 = 2^2 \)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức.

\( \frac{5^{4} \times (2^2 \times 5)^{4}}{(5^2)^{5} \times (2^2)^{5}} \)

Bước 3: Áp dụng các quy tắc lũy thừa.

\( = \frac{5^{4} \times (2^2)^{4} \times 5^{4}}{5^{2 \times 5} \times 2^{2 \times 5}} \)

\( = \frac{5^{4} \times 2^{8} \times 5^{4}}{5^{10} \times 2^{10}} \)

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số.

Tử số: \( 2^{8} \times 5^{4} \times 5^{4} = 2^{8} \times 5^{4+4} = 2^{8} \times 5^{8} \)

Mẫu số: \( 2^{10} \times 5^{10} \) (đã gọn)

Biểu thức trở thành: \( \frac{2^{8} \times 5^{8}}{2^{10} \times 5^{10}} \)

Bước 5: Chia các lũy thừa cùng cơ số.

Với cơ số 2: \( \frac{2^{8}}{2^{10}} = 2^{8-10} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} \)

Với cơ số 5: \( \frac{5^{8}}{5^{10}} = 5^{8-10} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} \)

Vậy biểu thức cuối cùng là: \( \frac{1}{2^2 \times 5^2} \)

Bước 6: Tính giá trị.

\( 2^2 = 4 \)

\( 5^2 = 25 \)

\( \frac{1}{4 \times 25} = \frac{1}{100} \)

Trả lời:

\( \frac{5^{4} \times 20^{4}}{25^{5} \times 4^{5}} = \frac{5^{4} \times (2^2 \times 5)^{4}}{(5^2)^{5} \times (2^2)^{5}} \)

\( = \frac{5^{4} \times 2^{8} \times 5^{4}}{5^{10} \times 2^{10}} \)

\( = \frac{2^{8} \times 5^{4+4}}{2^{10} \times 5^{10}} \)

\( = \frac{2^{8} \times 5^{8}}{2^{10} \times 5^{10}} \)

\( = \frac{1}{2^{10-8} \times 5^{10-8}} \)

\( = \frac{1}{2^2 \times 5^2} \)

\( = \frac{1}{(2 \times 5)^2} \)

\( = \frac{1}{10^2} \)

\( = \frac{1}{100} \)

Các em thấy đó, chỉ cần nắm vững các quy tắc về lũy thừa và cẩn thận trong từng bước phân tích, chúng ta có thể giải quyết được các bài toán này một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo hơn nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô.