Bài tập 7:

Đây là bài toán về chuyển động thẳng đều, khi hai vật chuyển động tương đối với nhau. Chúng ta sẽ sử dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian.

Phân tích đề bài:

Hai ô tô xuất phát từ A và B, cách nhau 20 km.

Vận tốc của hai ô tô lần lượt là \(v_1\) và \(v_2\), chạy với tốc độ không đổi.

Trường hợp 1: Hai ô tô chạy ngược chiều.

Khi hai ô tô chạy ngược chiều, chúng gặp nhau. Quãng đường mà hai ô tô đi được cộng lại bằng khoảng cách ban đầu giữa A và B.

Thời gian gặp nhau là 15 phút, chúng ta cần đổi sang đơn vị giây hoặc km/h. Chọn đơn vị km/h cho tiện.

15 phút = 15/60 giờ = 0.25 giờ.

Trong trường hợp này, vận tốc tương đối của hai ô tô là tổng vận tốc của chúng: \(v_{12} = v_1 + v_2\).

Quãng đường AB là 20 km.

Áp dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian

Ta có phương trình: \(20 = (v_1 + v_2) \times 0.25 \)

Suy ra: \(v_1 + v_2 = \frac{20}{0.25} = 80\) (km/h) (Phương trình 1)

Trường hợp 2: Hai ô tô chạy cùng chiều từ A đến B.

Giả sử ô tô đi từ A có vận tốc \(v_1\) và ô tô đi từ B có vận tốc \(v_2\). Để ô tô ở A đuổi kịp ô tô ở B, thì \(v_1 > v_2\).

Khi ô tô ở A đuổi kịp ô tô ở B, thì ô tô ở A đã đi được một quãng đường bằng quãng đường AB cộng với quãng đường mà ô tô ở B đã đi được.

Thời gian đuổi kịp là 1 giờ.

Trong trường hợp này, vận tốc tương đối của ô tô ở A đối với ô tô ở B là hiệu vận tốc: \(v_{12} = v_1 – v_2\).

Quãng đường mà ô tô ở A cần đi nhiều hơn ô tô ở B là 20 km.

Áp dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian

Ta có phương trình: \(20 = (v_1 – v_2) \times 1 \)

Suy ra: \(v_1 – v_2 = 20\) (km/h) (Phương trình 2)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ hai phương trình:

1. \(v_1 + v_2 = 80\)

2. \(v_1 – v_2 = 20\)

Cộng hai phương trình lại:

\((v_1 + v_2) + (v_1 – v_2) = 80 + 20\)

\(2v_1 = 100\)

\(v_1 = 50\) km/h

Thay \(v_1 = 50\) vào phương trình 1:

\(50 + v_2 = 80\)

\(v_2 = 80 – 50 = 30\) km/h

Tính giá trị biểu thức:

Biểu thức cần tìm là \(2v_1 + 7v_2\).

\(2v_1 + 7v_2 = 2 \times 50 + 7 \times 30 = 100 + 210 = 310\)

Đáp số: Giá trị của biểu thức \(2v_1 + 7v_2\) là 310.

—

Bài tập 8:

Bài tập này liên quan đến phép cộng vận tốc trong các hệ quy chiếu khác nhau. Chúng ta cần sử dụng công thức cộng vận tốc.

Phân tích đề bài:

Ô tô chạy với vận tốc \(v_x\) = 50 km/h.

Mưa rơi theo phương thẳng đứng.

Trên cửa kính, vệt mưa rơi làm với phương thẳng đứng một góc 60°.

Vận tốc của giọt mưa đối với xe ô tô là \(v_{12}\).

Vận tốc của giọt mưa đối với mặt đất là \(v_{13}\).

Chúng ta cần tìm giá trị của \((v_{12} + v_{13})\). Lưu ý ở đây đề bài có thể hiểu là tổng độ lớn của hai vận tốc này.

Qui ước các hệ quy chiếu:

Hệ quy chiếu gắn với mặt đất là hệ quy chiếu đứng yên (gốc).

Hệ quy chiếu gắn với ô tô (chuyển động).

Phân tích vận tốc:

Gọi vận tốc của giọt mưa đối với mặt đất là \(\vec{v}_1\). Vì mưa rơi theo phương thẳng đứng nên \(\vec{v}_1\) có phương thẳng đứng, chiều hướng xuống.

Gọi vận tốc của ô tô đối với mặt đất là \(\vec{v}_2\). Ô tô chạy với vận tốc 50 km/h, ta coi là theo phương ngang.

Vận tốc của giọt mưa đối với ô tô là \(\vec{v}_{12}\). Đây là vận tốc mà người ngồi trong xe quan sát được.

Công thức cộng vận tốc:

\(\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\)

Hay \(\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 – \vec{v}_2\)

Phân tích dữ kiện về vệt mưa:

Vệt mưa trên cửa kính làm với phương thẳng đứng một góc 60°. Vệt mưa này chính là hướng của vận tốc tương đối \(\vec{v}_{12}\).

Ta có \(\vec{v}_{12}\) có phương hợp với phương thẳng đứng một góc 60°.

Trong khi đó, \(\vec{v}_1\) có phương thẳng đứng.

\(\vec{v}_2\) có phương ngang.

Hãy vẽ hình để dễ hình dung:

Vẽ trục thẳng đứng (hướng xuống) và trục ngang.

\(\vec{v}_1\) nằm trên trục thẳng đứng.

\(\vec{v}_2\) nằm trên trục ngang.

\(\vec{v}_{12}\) là hiệu của \(\vec{v}_1\) và \(\vec{v}_2\). Nếu \(\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 – \vec{v}_2\), thì \(\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\).

Tức là, \(\vec{v}_1\) là đường chéo của hình bình hành được tạo bởi \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_2\).

Theo đề bài, vệt mưa (tức là \(\vec{v}_{12}\)) làm với phương thẳng đứng một góc 60°. Tuy nhiên, thông thường góc này được đo từ phương thẳng đứng hướng lên hoặc xuống. Dựa vào cách diễn đạt “vệt mưa rơi làm với phương thẳng đứng một góc 60°”, ta hiểu rằng góc giữa \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_1\) (phương thẳng đứng) là 60°.

Ta có một tam giác vuông với các cạnh tương ứng với độ lớn vận tốc:

Cạnh huyền là độ lớn vận tốc của giọt mưa đối với mặt đất: \(v_1\).

Một cạnh góc vuông là độ lớn vận tốc của ô tô: \(v_2 = 50\) km/h.

Cạnh góc vuông còn lại là độ lớn vận tốc của giọt mưa đối với xe: \(v_{12}\).

Góc giữa \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_1\) là 60°.

Trong tam giác vuông này:

\(\cos(60^\circ) = \frac{v_{12}}{v_1}\) hoặc \(\sin(60^\circ) = \frac{v_2}{v_1}\) (tùy thuộc vào cách vẽ và góc)

Hãy xem xét lại \(\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\).

Vẽ \(\vec{v}_2\) ngang.

Vẽ \(\vec{v}_1\) thẳng đứng xuống.

Khi cộng \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_2\) ta được \(\vec{v}_1\).

Nếu \(\vec{v}_{12}\) tạo với phương thẳng đứng một góc 60°, ta có thể xem \(\vec{v}_{12}\) là một vectơ.

Ta có thể phân tích \(\vec{v}_{12}\) thành hai thành phần: một theo phương ngang và một theo phương thẳng đứng.

Cách hiểu thông thường của bài toán này là: vận tốc của giọt mưa đối với xe ô tô \(\vec{v}_{12}\) có phương nghiêng 60 độ so với phương thẳng đứng. Vận tốc của ô tô \(\vec{v}_2\) là phương ngang. Vận tốc của giọt mưa đối với mặt đất \(\vec{v}_1\) là phương thẳng đứng.

Ta có mối quan hệ: \(\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\).

Vẽ \(\vec{v}_2\) nằm ngang.

Vẽ \(\vec{v}_{12}\) tạo với phương thẳng đứng (trục của \(\vec{v}_1\)) một góc 60°.

Trong hệ quy chiếu gắn với xe, giọt mưa có vận tốc \(\vec{v}_{12}\). Người ngồi trong xe thấy giọt mưa rơi theo một phương nghiêng.

Nếu \(\vec{v}_{12}\) tạo với phương thẳng đứng một góc 60°, thì thành phần vận tốc của giọt mưa theo phương ngang (đối với xe) là \(v_{12} \sin(60^\circ)\), và thành phần vận tốc theo phương thẳng đứng (đối với xe) là \(v_{12} \cos(60^\circ)\).

Tuy nhiên, đề bài nói “các vệt mưa rơi làm với phương thẳng đứng một góc 60°”. Điều này thường ám chỉ vận tốc quan sát được bởi người trên xe.

Xét tam giác vectơ: \(\vec{v}_1 = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\).

Ta có \(v_2 = 50\) km/h (ngang).

Góc giữa \(\vec{v}_{12}\) và phương thẳng đứng là 60°.

Trong tam giác vectơ, \(\vec{v}_1\) là tổng, \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_2\) là các thành phần.

Xét một cách khác: Vận tốc của giọt mưa đối với mặt đất \(\vec{v}_1\) có phương thẳng đứng.

Vận tốc của xe đối với mặt đất \(\vec{v}_2\) có phương ngang.

Vận tốc của giọt mưa đối với xe \(\vec{v}_{12}\) có phương nghiêng.

Ta có \(\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 – \vec{v}_2\).

Vẽ \(\vec{v}_1\) thẳng đứng.

Vẽ \(\vec{v}_2\) ngang, có độ lớn 50 km/h.

\(\vec{v}_{12}\) là hiệu. Nếu xem \(\vec{v}_1\) là vectơ tổng, thì \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_2\) là các thành phần. Nhưng \(\vec{v}_1\) là vận tốc đối với mặt đất, \(\vec{v}_{12}\) là vận tốc đối với xe.

Ta có \(\vec{v}_1\) (mưa so với đất) = \(\vec{v}_{13}\) (vận tốc giọt mưa so với đất – đề bài ký hiệu là \(v_{13}\) nhưng thực chất là vận tốc của mưa so với đất).

\(\vec{v}_{13} = \vec{v}_{12} + \vec{v}_2\)

Trong đó:

\(\vec{v}_{13}\) có phương thẳng đứng.

\(\vec{v}_2\) là vận tốc của ô tô so với mặt đất, phương ngang, độ lớn 50 km/h.

\(\vec{v}_{12}\) là vận tốc của giọt mưa so với ô tô.

Đề bài nói “các vệt mưa rơi làm với phương thẳng đứng một góc 60°”. Đây là góc mà người trên xe quan sát được, tức là góc giữa \(\vec{v}_{12}\) và phương thẳng đứng.

Xét tam giác vectơ vuông:

Cạnh huyền là \(v_{13}\) (độ lớn vận tốc mưa so với đất).

Một cạnh góc vuông là \(v_2 = 50\) km/h (độ lớn vận tốc ô tô so với đất).

Cạnh góc vuông còn lại là \(v_{12}\) (độ lớn vận tốc mưa so với ô tô).

Góc giữa \(\vec{v}_{12}\) và \(\vec{v}_{13}\) là 60°.

Trong tam giác vuông này:

\(\sin(60^\circ) = \frac{v_2}{v_{13}}\)

\(\cos(60^\circ) = \frac{v_{12}}{v_{13}}\)

\(\tan(60^\circ) = \frac{v_2}{v_{12}}\)

Từ \(\tan(60^\circ) = \frac{v_2}{v_{12}}\):

\(v_{12} = \frac{v_2}{\tan(60^\circ)} = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50\sqrt{3}}{3}\) km/h

Từ \(\sin(60^\circ) = \frac{v_2}{v_{13}}\):

\(v_{13} = \frac{v_2}{\sin(60^\circ)} = \frac{50}{\sqrt{3}/2} = \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3}\) km/h

Tính giá trị biểu thức:

\(v_{12} + v_{13} = \frac{50\sqrt{3}}{3} + \frac{100\sqrt{3}}{3} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3}\)

Nếu đề bài có ý khác, ví dụ góc 60 độ là giữa vận tốc tương đối và phương ngang, thì cách giải sẽ khác.

Tuy nhiên, cách hiểu trên là phổ biến cho dạng bài này.

Giá trị \(50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6\)

Đáp số: Giá trị của \((v_{12} + v_{13})\) là \(50\sqrt{3}\) km/h.

—

Bài tập 9:

Bài tập này liên quan đến chuyển động ném xiên, nhưng hòn đá được ném xuống dưới. Chúng ta sẽ phân tích vận tốc theo phương ngang và phương thẳng đứng.

Phân tích đề bài:

Hòn đá chạm vào mặt biển với vận tốc \(\vec{v}\).

Thành phần thẳng đứng xuống dưới của \(\vec{v}\) là \(v_1 = 17\) m/s.

Thành phần ngang của \(\vec{v}\) là \(v_2\).

Độ lớn vận tốc \(\vec{v}\) là \(v = 24\) m/s.

Chúng ta cần tìm \(v_2\) và góc giữa vận tốc của viên đá và phương thẳng đứng khi nó chạm vào mặt nước.

Phân tích vận tốc:

Vận tốc \(\vec{v}\) có hai thành phần vuông góc với nhau: \(\vec{v}_1\) (thẳng đứng, hướng xuống) và \(\vec{v}_2\) (ngang).

Ta có mối liên hệ: \(\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\).

Vì \(\vec{v}_1\) và \(\vec{v}_2\) vuông góc với nhau, ta có thể sử dụng định lý Pytago cho độ lớn vận tốc:

\(v^2 = v_1^2 + v_2^2\)

Tìm \(v_2\):

Ta có \(v = 24\) m/s và \(v_1 = 17\) m/s.

\(24^2 = 17^2 + v_2^2\)

\(576 = 289 + v_2^2\)

\(v_2^2 = 576 – 289 = 287\)

\(v_2 = \sqrt{287}\) m/s

\(\sqrt{287} \approx 16.94\) m/s

Tìm góc giữa vận tốc của viên đá và phương thẳng đứng:

Góc này là góc giữa \(\vec{v}\) và \(\vec{v}_1\).

Trong tam giác vuông với các cạnh \(v_1\), \(v_2\) và cạnh huyền \(v\), ta có:

\(\cos(\theta) = \frac{v_1}{v}\)

trong đó \(\theta\) là góc giữa \(\vec{v}\) và \(\vec{v}_1\) (phương thẳng đứng).

Thay số vào:

\(\cos(\theta) = \frac{17}{24}\)

\(\theta = \arccos\left(\frac{17}{24}\right)\)

Sử dụng máy tính, ta tìm được \(\theta \approx 44.9^\circ\).

Đáp số:

Giá trị của \(v_2\) là \(\sqrt{287}\) m/s.

Góc giữa vận tốc của viên đá và phương thẳng đứng khi nó chạm vào mặt nước là \(\arccos\left(\frac{17}{24}\right)\) hoặc xấp xỉ \(44.9^\circ\).

—

Bài tập 10:

Bài tập này liên quan đến chuyển động trên dòng chảy, tức là vận tốc tương đối. Chúng ta cần xác định vận tốc của ca nô đối với bờ.

Phân tích đề bài:

Tốc độ dòng lũ (vận tốc nước so với bờ) là \(v_{nl} = 4\) m/s.

Tốc độ ca nô so với dòng nước là \(v_{cn} = 8\) m/s.

Khoảng cách từ trạm cứu hộ đến chỗ người bị nạn là 2 km.

a) Thời gian đội cứu hộ đến được chỗ người bị nạn (đi xuôi dòng lũ).

Khi đi xuôi dòng lũ, vận tốc của ca nô đối với bờ là tổng vận tốc của ca nô so với nước và vận tốc của nước so với bờ.

\(v_{cb, xuôi} = v_{cn} + v_{nl}\)

\(v_{cb, xuôi} = 8 \text{ m/s} + 4 \text{ m/s} = 12 \text{ m/s}\)

Khoảng cách là 2 km, chúng ta cần đổi sang mét.

2 km = 2000 m.

Thời gian đến nơi được tính bằng công thức: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

\(t_{xuôi} = \frac{s}{v_{cb, xuôi}}\)

\(t_{xuôi} = \frac{2000 \text{ m}}{12 \text{ m/s}} = \frac{2000}{12} \text{ s} = \frac{500}{3} \text{ s}\)

\(t_{xuôi} \approx 166.67 \text{ s}\)

Đổi sang phút: \(166.67 \text{ s} / 60 \text{ s/phút} \approx 2.78 \text{ phút}\)

Đáp số a): Đội cứu hộ đến được chỗ người bị nạn sau \(\frac{500}{3}\) giây (hoặc khoảng 166.67 giây, hay 2.78 phút).

b) Thời gian để quay lại trạm ban đầu (đi ngược dòng lũ).

Khi đi ngược dòng lũ, vận tốc của ca nô đối với bờ là hiệu vận tốc của ca nô so với nước và vận tốc của nước so với bờ.

\(v_{cb, ngược} = v_{cn} – v_{nl}\)

\(v_{cb, ngược} = 8 \text{ m/s} – 4 \text{ m/s} = 4 \text{ m/s}\)

Quãng đường quay lại trạm vẫn là 2000 m.

Thời gian quay lại trạm được tính bằng công thức: Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

\(t_{ngược} = \frac{s}{v_{cb, ngược}}\)

\(t_{ngược} = \frac{2000 \text{ m}}{4 \text{ m/s}} = 500 \text{ s}\)

Đổi sang phút: \(500 \text{ s} / 60 \text{ s/phút} \approx 8.33 \text{ phút}\)

Đáp số b): Đội cứu hộ phải mất 500 giây (hoặc 8.33 phút) để quay lại trạm ban đầu.

Các em thấy không, mỗi bài tập đều có những điểm thú vị riêng. Quan trọng là chúng ta phải đọc kỹ đề, phân tích dữ kiện và lựa chọn công thức phù hợp. Nếu có chỗ nào chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi nhé!