Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến năng suất làm việc của hai vòi nước. Đây là một dạng bài rất hay gặp và yêu cầu chúng ta phải phân tích kỹ đề bài để đưa ra lời giải chính xác nhất. Chúng ta bắt đầu nhé!

Đề bài: Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 12 giờ đầy bể. Người ta mở cả hai vòi trong 8 giờ rồi khóa vòi 1 lại, vòi 2 tiếp tục chảy với năng suất tăng gấp đôi trong 3,5 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu chảy bình thường thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Phân tích và lời giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và xác định đại lượng.

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là \(t_1\) (giờ). Điều kiện: \(t_1 > 0\).
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là \(t_2\) (giờ). Điều kiện: \(t_2 > 0\).

Khi đó, trong 1 giờ:

• Vòi 1 chảy được \(\frac{1}{t_1}\) phần bể (năng suất của vòi 1).
• Vòi 2 chảy được \(\frac{1}{t_2}\) phần bể (năng suất của vòi 2).

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các dữ kiện của đề bài.

Dữ kiện 1: “Hai vòi nước cùng chảy vào bể sau 12 giờ đầy bể.”

Nếu cả hai vòi cùng chảy, trong 1 giờ chúng chảy được: \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}\) phần bể.

Vì 12 giờ thì đầy bể nên ta có phương trình thứ nhất:

\(12 \times \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) = 1\)

Hay: \(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}\) (Phương trình 1)

Dữ kiện 2: “Người ta mở cả hai vòi trong 8 giờ rồi khóa vòi 1 lại, vòi 2 tiếp tục chảy với năng suất tăng gấp đôi trong 3,5 giờ nữa thì đầy bể.”

• Trong 8 giờ đầu tiên, cả hai vòi cùng chảy. Lượng nước mà cả hai vòi chảy được là: \(8 \times \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)\) phần bể.
• Sau đó, vòi 1 bị khóa. Vòi 2 tiếp tục chảy với năng suất tăng gấp đôi. Năng suất mới của vòi 2 là: \(2 \times \frac{1}{t_2} = \frac{2}{t_2}\) phần bể/giờ.
• Vòi 2 chảy với năng suất gấp đôi trong 3,5 giờ. Lượng nước mà vòi 2 chảy được trong giai đoạn này là: \(3.5 \times \frac{2}{t_2}\) phần bể.

Tổng lượng nước chảy vào bể trong cả hai giai đoạn là 1 (đầy bể). Vậy ta có phương trình thứ hai:

\(8 \times \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) + 3.5 \times \frac{2}{t_2} = 1\)

Hay: \(8 \times \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) + \frac{7}{t_2} = 1\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\( \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \quad (1) \\ 8 \times \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) + \frac{7}{t_2} = 1 \quad (2) \end{array} \right. \)

Từ Phương trình (1), ta thấy biểu thức \(\left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)\) có giá trị là \(\frac{1}{12}\).
Thay giá trị này vào Phương trình (2), ta được:

\(8 \times \frac{1}{12} + \frac{7}{t_2} = 1\)

Rút gọn \(\frac{8}{12}\) ta được \(\frac{2}{3}\):

\(\frac{2}{3} + \frac{7}{t_2} = 1\)

Chuyển \(\frac{2}{3}\) sang vế phải:

\(\frac{7}{t_2} = 1 – \frac{2}{3}\)

\(\frac{7}{t_2} = \frac{3}{3} – \frac{2}{3}\)

\(\frac{7}{t_2} = \frac{1}{3}\)

Từ đây, ta tính được \(t_2\):

\(t_2 = 7 \times 3\)

\(t_2 = 21\) (giờ)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị \(t_2 = 21\) vào Phương trình (1) để tìm \(t_1\):

\(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{21} = \frac{1}{12}\)

Chuyển \(\frac{1}{21}\) sang vế phải:

\(\frac{1}{t_1} = \frac{1}{12} – \frac{1}{21}\)

Để trừ hai phân số này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 12 và 21. \(BSCNN(12, 21) = 84\).

\(\frac{1}{t_1} = \frac{7}{84} – \frac{4}{84}\)

\(\frac{1}{t_1} = \frac{3}{84}\)

Rút gọn phân số \(\frac{3}{84}\):

\(\frac{1}{t_1} = \frac{1}{28}\)

Từ đây, ta tính được \(t_1\):

\(t_1 = 28\) (giờ)

Bước 4: Kết luận.

Vậy, nếu chảy một mình bình thường:

• Vòi 1 chảy đầy bể trong 28 giờ.
• Vòi 2 chảy đầy bể trong 21 giờ.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ từng dữ kiện và lập hệ phương trình đúng, thì việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tập này để nắm vững kiến thức nhé!