Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài tập liên quan đến phương trình, đặc biệt là các phương trình có dạng vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

***

Bài 8: Giải phương trình \((2x – 3)^2 – 49 = 0\)

Lời giải:

Đây là dạng phương trình tích, ta có thể áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).

Ta nhận thấy \(49 = 7^2\). Vậy phương trình trở thành:

\((2x – 3)^2 – 7^2 = 0\)

\([ (2x – 3) – 7 ] [ (2x – 3) + 7 ] = 0\)

\((2x – 3 – 7)(2x – 3 + 7) = 0\)

\((2x – 10)(2x + 4) = 0\)

Để tích này bằng 0, thì một trong các thừa số phải bằng 0. Vậy ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\(2x – 10 = 0\)

\(2x = 10\)

\(x = \frac{10}{2}\)

\(x = 5\)

Trường hợp 2:

\(2x + 4 = 0\)

\(2x = -4\)

\(x = \frac{-4}{2}\)

\(x = -2\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{5; -2\}\).

***

Bài 9: Giải phương trình \((2x – 5)^2 – x^2 = 0\)

Lời giải:

Tương tự như bài trên, đây cũng là dạng hiệu hai bình phương \(a^2 – b^2 = 0\), với \(a = (2x – 5)\) và \(b = x\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

\([ (2x – 5) – x ] [ (2x – 5) + x ] = 0\)

\((2x – 5 – x)(2x – 5 + x) = 0\)

\((x – 5)(3x – 5) = 0\)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\(x – 5 = 0\)

\(x = 5\)

Trường hợp 2:

\(3x – 5 = 0\)

\(3x = 5\)

\(x = \frac{5}{3}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{5; \frac{5}{3}\}\).

***

Bài 10: Giải phương trình \((x + 3)^2 – x^2 = 45\)

Lời giải:

Vế trái của phương trình là hiệu hai bình phương, \(a^2 – b^2\), với \(a = (x + 3)\) và \(b = x\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\([ (x + 3) – x ] [ (x + 3) + x ] = 45\)

\((x + 3 – x)(x + 3 + x) = 45\)

\((3)(2x + 3) = 45\)

Đây là một phương trình bậc nhất đơn giản:

\(2x + 3 = \frac{45}{3}\)

\(2x + 3 = 15\)

\(2x = 15 – 3\)

\(2x = 12\)

\(x = \frac{12}{2}\)

\(x = 6\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{6\}\).

***

Bài 11: Giải phương trình \((5x – 4)^2 – 49x^2 = 0\)

Lời giải:

Phương trình này cũng là dạng hiệu hai bình phương. Ta cần nhận ra rằng \(49x^2 = (7x)^2\).

Vậy, \(a = (5x – 4)\) và \(b = 7x\).

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\):

\([ (5x – 4) – 7x ] [ (5x – 4) + 7x ] = 0\)

\((5x – 4 – 7x)(5x – 4 + 7x) = 0\)

\((-2x – 4)(12x – 4) = 0\)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\(-2x – 4 = 0\)

\(-2x = 4\)

\(x = \frac{4}{-2}\)

\(x = -2\)

Trường hợp 2:

\(12x – 4 = 0\)

\(12x = 4\)

\(x = \frac{4}{12}\)

\(x = \frac{1}{3}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-2; \frac{1}{3}\}\).

***

Bài 12: Giải phương trình \(16(x – 1)^2 – 25 = 0\)

Lời giải:

Đây cũng là một dạng hiệu hai bình phương. Ta cần biến đổi các hạng tử về dạng bình phương:

\(16(x – 1)^2 = [4(x – 1)]^2 = (4x – 4)^2\)

\(25 = 5^2\)

Vậy phương trình trở thành:

\([4(x – 1)]^2 – 5^2 = 0\)

\((4x – 4)^2 – 5^2 = 0\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), với \(a = (4x – 4)\) và \(b = 5\):

\([ (4x – 4) – 5 ] [ (4x – 4) + 5 ] = 0\)

\((4x – 4 – 5)(4x – 4 + 5) = 0\)

\((4x – 9)(4x + 1) = 0\)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:

\(4x – 9 = 0\)

\(4x = 9\)

\(x = \frac{9}{4}\)

Trường hợp 2:

\(4x + 1 = 0\)

\(4x = -1\)

\(x = -\frac{1}{4}\)

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{\frac{9}{4}; -\frac{1}{4}\}\).

***

Vậy là chúng ta đã giải xong tất cả các bài tập. Các em nhớ rằng, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp chúng ta giải các phương trình này một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn rất nhiều. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!