Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn lại và giải quyết một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Đại số, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi một đa thức thành tích của các đa thức khác (thường là các đa thức đơn giản hơn).

Chúng ta có hai bài toán sau:

a) \(8x( x+y) – 4y ( x+y)\)

b) \(2x ( x-3) -5( 3-x)\)

Bây giờ chúng ta cùng đi vào giải quyết từng bài một nhé!

Bài a): Phân tích đa thức \(8x( x+y) – 4y ( x+y)\) thành nhân tử

Với bài này, các em hãy quan sát thật kỹ biểu thức đã cho. Em có nhận thấy điều gì đặc biệt không?

Chúng ta thấy rằng cả hai “cụm” (hay còn gọi là số hạng) trong đa thức đều chứa một nhân tử giống nhau, đó chính là \((x+y)\).

Ngoài ra, ở các hệ số và biến còn lại, chúng ta có \(8x\) và \(4y\). Chúng ta có thể đặt nhân tử chung nào nữa từ hai số hạng này?

Số \(8\) và số \(4\) có nhân tử chung lớn nhất là \(4\).

Vậy, nhân tử chung tổng thể mà chúng ta có thể đặt ra ngoài là \(\mathbf{4(x+y)}\).

Các bước giải:

Bước 1: Xác định nhân tử chung.

Nhân tử chung rõ ràng nhất là: \((x+y)\).

Tiếp theo, xét các hệ số \(8\) và \(4\), nhân tử chung của chúng là \(4\).

Bước 2: Đặt nhân tử chung \((x+y)\) ra ngoài dấu ngoặc.

Khi đặt \((x+y)\) ra ngoài, ta còn lại các số hạng trong ngoặc là \(8x\) và \(-4y\).

\(8x( x+y) – 4y ( x+y) = (x+y) (8x – 4y)\)

Bước 3: Tiếp tục phân tích nhân tử còn lại (nếu có thể).

Trong ngoặc \((8x – 4y)\), chúng ta thấy cả \(8x\) và \(4y\) đều chia hết cho \(4\).

Vậy, \((8x – 4y)\) có thể được phân tích thành \(4(2x – y)\)

Bước 4: Viết lại kết quả cuối cùng.

Thay thế kết quả từ Bước 3 vào biểu thức ở Bước 2, ta được:

\(8x( x+y) – 4y ( x+y) = (x+y) \cdot 4(2x – y)\)

Để biểu thức gọn gàng và chuẩn hơn, ta thường viết số lên đầu:

\(= \mathbf{4(x+y)(2x – y)}\)

Đây là kết quả cuối cùng của bài a).

Bài b): Phân tích đa thức \(2x ( x-3) -5( 3-x)\) thành nhân tử

Bài này có vẻ hơi “lạ” hơn một chút so với bài a) phải không nào? Các em lại tiếp tục quan sát kỹ nhé.

Ở đây, chúng ta có hai nhân tử gần giống nhau là \((x-3)\) và \((3-x)\). Chúng có mối quan hệ gì với nhau nhỉ?

Chúng ta biết rằng: \((3-x) = -(x-3)\). (Ví dụ: \(3-5 = -2\), còn \(5-3 = 2\); vậy \(3-5 = -(5-3)\) đúng không nào?)

Đây là một mẹo rất hay dùng khi phân tích đa thức thành nhân tử mà các em cần ghi nhớ!

Các bước giải:

Bước 1: Biến đổi một trong hai nhân tử để chúng trở nên giống nhau.

Chúng ta sẽ biến đổi \((3-x)\) thành \(-(x-3)\).

Thay thế vào biểu thức ban đầu:

\(2x ( x-3) -5( \mathbf{-(x-3)}) \)

Bước 2: Đơn giản hóa dấu và tìm nhân tử chung.

Phần \(-5(\mathbf{-(x-3)})\) sẽ trở thành \(\mathbf{+5(x-3)}\). (Vì \((-)\) nhân \((-)\) sẽ ra \((+)\)).

Vậy, biểu thức của chúng ta bây giờ là:

\(2x(x-3) + 5(x-3)\)

Đến đây thì bài toán đã trở về dạng quen thuộc như bài a) rồi đúng không? Nhân tử chung lúc này là \(\mathbf{(x-3)}\).

Bước 3: Đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.

Khi đặt \((x-3)\) ra ngoài, ta còn lại các số hạng trong ngoặc là \(2x\) và \(+5\).

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(\mathbf{(x-3)(2x + 5)}\)

Đây là kết quả cuối cùng của bài b).

Các em thấy đấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi chúng ta phải quan sát kỹ, nhận diện được các dạng quen thuộc (đặt nhân tử chung, biến đổi dấu để tạo nhân tử chung) và áp dụng linh hoạt. Hãy luyện tập thêm thật nhiều dạng bài này để thành thạo hơn nhé!

Chúc các em học tốt!