Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, cô (hoặc thầy) sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về tổng (hoặc hiệu) các phân số có quy luật rất thú vị nhé. Bài toán của chúng ta là tính giá trị của biểu thức A:

\( A = 1 – \frac{3}{2.5} – \frac{3}{5.8} – \frac{3}{8.11} – \dots – \frac{3}{105.108} \)

Lưu ý quan trọng: Khi nhìn vào đề bài, cô (hoặc thầy) thấy có hai cách viết biểu thức A. Một là dạng phép trừ liên tiếp, và một là dạng phép nhân liên tiếp. Ở cấp độ lớp 7, với các phân số có mẫu là tích của hai số cách đều như \( \frac{1}{n \times (n+k)} \), chúng ta thường giải quyết bằng cách biến đổi chúng thành hiệu của hai phân số để rút gọn (dạng tổng/hiệu). Vì vậy, cô (hoặc thầy) sẽ giải theo hướng biểu thức A là một tổng/hiệu. Cụ thể, biểu thức được hiểu là: \( A = 1 – \left( \frac{3}{2 \times 5} + \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \dots + \frac{3}{105 \times 108} \right) \). Nếu đề bài thực sự là phép nhân, cách giải sẽ hoàn toàn khác và phức tạp hơn rất nhiều so với chương trình lớp 7.

Chúng ta cùng bắt đầu giải bài toán này theo từng bước nhé!

Bước 1: Phân tích các số hạng trong tổng

Các em hãy quan sát các số hạng trong ngoặc: \( \frac{3}{2 \times 5}, \frac{3}{5 \times 8}, \frac{3}{8 \times 11}, \dots, \frac{3}{105 \times 108} \). Các em có nhận thấy điều gì đặc biệt không?

Mỗi mẫu số là tích của hai số, và điều đặc biệt là hiệu của hai số đó chính bằng tử số! Ví dụ:

• \( 5 – 2 = 3 \)
• \( 8 – 5 = 3 \)
• \( 11 – 8 = 3 \)
• …
• \( 108 – 105 = 3 \)

Đây chính là dấu hiệu để chúng ta áp dụng công thức biến đổi phân số quen thuộc: \( \frac{k}{n \times (n+k)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \).
Áp dụng công thức này, ta có thể viết lại mỗi số hạng trong ngoặc như sau:

• \( \frac{3}{2 \times 5} = \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \)
• \( \frac{3}{5 \times 8} = \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \)
• \( \frac{3}{8 \times 11} = \frac{1}{8} – \frac{1}{11} \)
• …
• \( \frac{3}{105 \times 108} = \frac{1}{105} – \frac{1}{108} \)

Bước 2: Tính tổng các số hạng trong ngoặc

Bây giờ, chúng ta hãy đặt phần tổng trong ngoặc là S. Ta có:

\( S = \frac{3}{2 \times 5} + \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \dots + \frac{3}{105 \times 108} \)

Thay các phân tích ở Bước 1 vào biểu thức S, ta được:

\( S = \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{8} \right) + \left( \frac{1}{8} – \frac{1}{11} \right) + \dots + \left( \frac{1}{105} – \frac{1}{108} \right) \)

Các em có thấy điều kỳ diệu không? Đây là một dạng tổng đặc biệt, người ta gọi là “tổng rút gọn” hay “tổng có các số hạng tự triệt tiêu”. Các số hạng đối nhau sẽ triệt tiêu lẫn nhau!

\( S = \frac{1}{2} \underbrace{- \frac{1}{5} + \frac{1}{5}}_{=0} \underbrace{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}_{=0} \underbrace{- \frac{1}{11} + \dots + \frac{1}{105}}_{=0} – \frac{1}{108} \)

Vậy, S được rút gọn rất đơn giản, chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\( S = \frac{1}{2} – \frac{1}{108} \)

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2 và 108 là 108.

\( S = \frac{1 \times 54}{2 \times 54} – \frac{1}{108} = \frac{54}{108} – \frac{1}{108} \)

\( S = \frac{54 – 1}{108} = \frac{53}{108} \)

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức A

Cuối cùng, chúng ta thay giá trị của S vừa tìm được vào biểu thức A ban đầu:

\( A = 1 – S \)

\( A = 1 – \frac{53}{108} \)

Để thực hiện phép trừ này, chúng ta viết 1 dưới dạng phân số có mẫu số là 108:

\( A = \frac{108}{108} – \frac{53}{108} \)

\( A = \frac{108 – 53}{108} \)

\( A = \frac{55}{108} \)

Vậy, giá trị của biểu thức A là \( \frac{55}{108} \).

Lời kết:

Các em thấy không, một biểu thức phức tạp như vậy nhưng nếu chúng ta biết cách phân tích và áp dụng đúng công thức thì sẽ trở nên rất đơn giản. Dạng bài này rất hay gặp trong các bài kiểm tra và bài thi, các em hãy ghi nhớ phương pháp phân tích và rút gọn tổng các phân số có quy luật này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào về bài toán này hay các dạng toán tương tự, đừng ngần ngại hỏi cô (hoặc thầy)!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!