Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức và tìm giá trị của biến để thỏa mãn một điều kiện cho trước. Đây là dạng bài rất phổ biến trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Đề bài: Cho các biểu thức:

\(A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Đặt \(P = A:B\). Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = P^4\).

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của các biểu thức A và B.

Để các biểu thức \(A\) và \(B\) có nghĩa, chúng ta cần thỏa mãn các điều kiện sau:

• Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).
• Mẫu thức phải khác 0:
  • Đối với \(A\) và \(B\), mẫu thức là \(\sqrt{x}-1 \ne 0\).
  • Điều này dẫn đến \(\sqrt{x} \ne 1\), suy ra \(x \ne 1^2\), tức là \(x \ne 1\).

Vậy, điều kiện xác định của các biểu thức là: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức \(P\).

Theo đề bài, \(P = A:B\). Chúng ta có:

\(P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} : \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Để chia hai phân thức, ta nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai:

\(P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \times \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

Với điều kiện \(x \ne 1\), ta có thể rút gọn thừa số chung \(\sqrt{x}-1\) ở tử số và mẫu số:

\(P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

Đây là biểu thức \(P\) đã được rút gọn.

Bước 3: Giải phương trình \(P = P^4\) để tìm giá trị của \(x\).

Chúng ta có phương trình: \(P = P^4\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:

\(P^4 – P = 0\)

Đặt \(P\) làm thừa số chung:

\(P(P^3 – 1) = 0\)

Phương trình này có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: \(P = 0\)

Thay biểu thức của \(P\) vào, ta có:

\(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 0\)

Vì mẫu số \(\sqrt{x}+1\) luôn dương (do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \ge 1\)), nên để phân số bằng 0 thì tử số phải bằng 0:

\(2\sqrt{x} = 0\)

\(\sqrt{x} = 0\)

\(x = 0^2\)

\(x = 0\)

Kiểm tra với ĐKXĐ: \(x = 0\) thỏa mãn \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
Vậy, \(x = 0\) là một giá trị cần tìm.

Trường hợp 2: \(P^3 – 1 = 0\)

\(P^3 = 1\)

\(P = \sqrt[3]{1}\)

\(P = 1\)

Thay biểu thức của \(P\) vào, ta có:

\(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} = 1\)

Nhân chéo cả hai vế với \(\sqrt{x}+1\) (vì \(\sqrt{x}+1 \ne 0\)):

\(2\sqrt{x} = 1 \times (\sqrt{x}+1)\)

\(2\sqrt{x} = \sqrt{x}+1\)

Chuyển \(\sqrt{x}\) sang vế trái:

\(2\sqrt{x} – \sqrt{x} = 1\)

\(\sqrt{x} = 1\)

Bình phương cả hai vế:

\((\sqrt{x})^2 = 1^2\)

\(x = 1\)

Kiểm tra với ĐKXĐ: \(x = 1\) không thỏa mãn điều kiện \(x \ne 1\).
Vậy, giá trị \(x = 1\) này bị loại.

Bước 4: Kết luận.

Từ hai trường hợp trên, giá trị duy nhất của \(x\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(x = 0\).

Vậy, tất cả các giá trị của \(x\) để \(P = P^4\) là \(x = 0\).

Các em hãy xem lại các bước giải một cách cẩn thận. Việc tìm điều kiện xác định và đối chiếu kết quả cuối cùng với điều kiện này là rất quan trọng để tránh sai sót nhé!

Chúc các em học tốt!