A. 3/1.3 + 3/3.5 + …. + 3/47.49 B. 2/1.4 + 2/4.7 + …. + 2/97.100

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải dạng bài tập tính giá trị của dãy số có quy luật rất phổ biến trong chương trình Toán lớp 7. Dạng toán này thường làm khó các em ở bước đầu, nhưng khi đã nắm được “bí quyết” thì giải quyết rất nhanh gọn.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết từng câu một nhé.

Phần A: Tính giá trị của biểu thức thứ nhất

Biểu thức này có các mẫu số là tích của hai số lẻ liên tiếp cách nhau 2 đơn vị (như 1 nhân 3, 3 nhân 5, v.v.) và tử số luôn là số 3.

Bước 1: Biến đổi tử số

Để xuất hiện hiệu của hai số ở mẫu, trước hết chúng ta đưa số 3 ra ngoài làm thừa số chung. Khi đó, tử số của mỗi phân số sẽ là 1.

Biểu thức trong ngoặc sau khi đặt 3 ra ngoài sẽ có dạng:

• Phân số đầu tiên là: 1 chia cho (1 nhân 3)
• Phân số thứ hai là: 1 chia cho (3 nhân 5)
• Cứ tiếp tục như vậy đến phân số cuối cùng là: 1 chia cho (47 nhân 49)

Bước 2: Tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số

Ta áp dụng công thức quen thuộc trong dạng toán này: 2 chia cho tích của hai số cách nhau 2 đơn vị bằng hiệu của 1 chia số nhỏ trừ đi 1 chia số lớn. Vì tử số của chúng ta là 1 (sau khi đặt 3 ra ngoài) và khoảng cách giữa các thừa số ở mẫu là 2, nên ta cần nhân thêm và chia bớt cho 2, hoặc viết lại tử số sao cho xuất hiện số 2.

Cụ thể, ta nhân cả biểu thức trong ngoặc với 2 và chia cho 2. Lúc này, biểu thức bên trong sẽ có tử số là 2 (đúng bằng hiệu hai thừa số ở mẫu):

• Phân số 1 chia (1 nhân 3) được viết thành: (3 trừ 1) chia cho (1 nhân 3), tách thành: 1 chia 1 trừ đi 1 chia 3.
• Phân số 1 chia (3 nhân 5) được viết thành: (5 trừ 3) chia cho (3 nhân 5), tách thành: 1 chia 3 trừ đi 1 chia 5.
• Làm tương tự cho đến phân số cuối cùng: 1 chia 47 trừ đi 1 chia 49.

Bước 3: Thu gọn và tính kết quả

Khi viết liền các phân số lại với nhau, các số hạng đối nhau (như cộng 1 phần 3 trừ 1 phần 3, cộng 1 phần 5 trừ 1 phần 5…) sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Biểu thức lúc này chỉ còn lại phân số đầu tiên và phân số cuối cùng:

• Bên trong ngoặc còn lại: 1 trừ đi (1 chia 49)
• Quy đồng mẫu số ta được: 48 chia 49
• Nhớ lại nhân tử 3 ở ngoài và chia 2 ở bước trước, ta có kết quả cuối cùng: (3 nhân 48) chia cho (2 nhân 49)
• Rút gọn ta được kết quả cuối cùng là: 72 chia 49

Phần B: Tính giá trị của biểu thức thứ hai

Ở biểu thức này, các mẫu số là tích của hai số cách nhau 3 đơn vị (như 1 nhân 4, 4 nhân 7, v.v.) và tử số luôn là số 2.

Bước 1: Đưa thừa số chung ra ngoài

Tương tự như câu trên, ta đặt số 2 ra ngoài làm thừa số chung. Bên trong ngoặc sẽ là tổng các phân số có tử số là 1 và mẫu số là tích của hai số cách nhau 3 đơn vị.

Bước 2: Biến đổi để xuất hiện hiệu ở tử số

Vì khoảng cách giữa các thừa số ở mẫu là 3 (ví dụ 4 trừ 1 bằng 3), nên để tạo ra hiệu ở tử số giống như mẫu, ta cần nhân và chia biểu thức trong ngoặc cho 3.

Khi đó, mỗi phân số trong ngoặc sẽ được tách thành hiệu của hai phân số:

• Phân số 1 chia (1 nhân 4) sẽ được tách thành: (1 chia 1) trừ đi (1 chia 4)
• Phân số 1 chia (4 nhân 7) sẽ được tách thành: (1 chia 4) trừ đi (1 chia 7)
• Cứ tiếp tục như vậy cho đến phân số cuối cùng: (1 chia 97) trừ đi (1 chia 100)

Bước 3: Triệt tiêu và tính toán

Thực hiện cộng trừ các phân số, các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu hết cho nhau. Biểu thức trong ngoặc gọn lại chỉ còn:

• Phân số đầu tiên là: 1 chia 1 (tức là 1)
• Trừ đi phân số cuối cùng là: 1 chia 100
• Kết quả trong ngoặc là: 99 chia 100

Cuối cùng, nhân với số 2 ở ngoài và chia cho 3 (đã mượn ở bước tạo khoảng cách), ta có:

• Lấy 2 nhân với 99 chia 100, rồi chia cho 3
• Rút gọn 99 cho 3 được 33, rút gọn 2 cho 100 được 50
• Kết quả cuối cùng của phần này là: 33 chia 50

Lời khuyên từ giáo viên: Dạng toán này mấu chốt nằm ở việc các em phải nhận ra khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu số, sau đó tạo ra tử số đúng bằng khoảng cách đó để tách thành hiệu hai phân số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để thành thạo nhé!