Chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán tổng dãy phân số rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp và có một “mẹo” nhỏ để tính toán nhanh chóng đấy. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài A: Tính tổng \( A = \frac{3}{1 \cdot 3} + \frac{3}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{3}{47 \cdot 49} \)

Để giải bài này, các em hãy nhớ lại một công thức rất hữu ích:
\( \frac{k}{n \cdot (n+k)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \)
Trong bài này, chúng ta thấy hiệu của hai số ở mẫu là 2 (ví dụ: \( 3-1=2 \), \( 5-3=2 \)). Tuy nhiên, tử số lại là 3. Vậy chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Phân tích từng số hạng

Chúng ta có thể viết lại mỗi phân số trong tổng A như sau:

Ta thấy tử số là 3, còn hiệu của hai thừa số dưới mẫu là 2. Để áp dụng công thức trên, chúng ta sẽ tách số 3 ra và nhân thêm \( \frac{2}{2} \) vào, hoặc đơn giản hơn là nhận thấy rằng:

\( \frac{1}{n \cdot (n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \)

Vậy, với mỗi số hạng có dạng \( \frac{3}{n \cdot (n+2)} \), ta có thể viết là:

\( \frac{3}{n \cdot (n+2)} = 3 \cdot \frac{1}{n \cdot (n+2)} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \)

Bước 2: Áp dụng cho từng số hạng trong tổng A

\( \frac{3}{1 \cdot 3} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) \)

\( \frac{3}{3 \cdot 5} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) \)

\( \frac{3}{5 \cdot 7} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{5} – \frac{1}{7} \right) \)

…

\( \frac{3}{47 \cdot 49} = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{47} – \frac{1}{49} \right) \)

Bước 3: Cộng các số hạng lại

\( A = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \dots + \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{47} – \frac{1}{49} \right) \)

Chúng ta thấy \( \frac{3}{2} \) là thừa số chung, ta đặt ra ngoài:

\( A = \frac{3}{2} \cdot \left[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{47} – \frac{1}{49} \right) \right] \)

Các em hãy quan sát kỹ các số hạng trong ngoặc vuông: \( -\frac{1}{3} \) sẽ triệt tiêu với \( +\frac{1}{3} \), \( -\frac{1}{5} \) sẽ triệt tiêu với \( +\frac{1}{5} \) tiếp theo, và cứ thế cho đến hết. Đây chính là “kiểu rút gọn liên tiếp” (telescoping sum).

Vậy, chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\( A = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{49} \right) \)

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng

\( A = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{49}{49} – \frac{1}{49} \right) \)

\( A = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{48}{49} \right) \)

\( A = \frac{3 \cdot 48}{2 \cdot 49} \)

\( A = \frac{3 \cdot 24 \cdot 2}{2 \cdot 49} \)

\( A = \frac{3 \cdot 24}{49} \)

\( A = \frac{72}{49} \)

Vậy, kết quả của tổng A là \( \frac{72}{49} \).

—

Bài B: Tính tổng \( B = \frac{2}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 7} + \dots + \frac{2}{97 \cdot 100} \)

Tương tự như bài A, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phân tích từng số hạng.
Quan sát mẫu số, ta thấy hiệu của hai số là 3 (ví dụ: \( 4-1=3 \), \( 7-4=3 \)). Lần này, tử số là 2.

Bước 1: Phân tích từng số hạng

Chúng ta cần công thức: \( \frac{k}{n \cdot (n+k)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \).
Ở đây, hiệu ở mẫu là 3. Vậy \( \frac{1}{n \cdot (n+3)} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \right) \).
Mỗi số hạng trong tổng B có dạng \( \frac{2}{n \cdot (n+3)} \). Ta sẽ biến đổi như sau:

\( \frac{2}{n \cdot (n+3)} = 2 \cdot \frac{1}{n \cdot (n+3)} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \right) = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \right) \)

Bước 2: Áp dụng cho từng số hạng trong tổng B

\( \frac{2}{1 \cdot 4} = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{4} \right) \)

\( \frac{2}{4 \cdot 7} = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) \)

\( \frac{2}{7 \cdot 10} = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{10} \right) \)

…

\( \frac{2}{97 \cdot 100} = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{97} – \frac{1}{100} \right) \)

Bước 3: Cộng các số hạng lại

\( B = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{4} \right) + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) + \dots + \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{97} – \frac{1}{100} \right) \)

Đặt \( \frac{2}{3} \) làm thừa số chung:

\( B = \frac{2}{3} \cdot \left[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{97} – \frac{1}{100} \right) \right] \)

Tương tự như bài A, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

\( B = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{100} \right) \)

Bước 4: Tính toán kết quả cuối cùng

\( B = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{100}{100} – \frac{1}{100} \right) \)

\( B = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{99}{100} \right) \)

\( B = \frac{2 \cdot 99}{3 \cdot 100} \)

\( B = \frac{2 \cdot 3 \cdot 33}{3 \cdot 100} \)

\( B = \frac{2 \cdot 33}{100} \)

\( B = \frac{66}{100} \)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2:

\( B = \frac{66 \div 2}{100 \div 2} = \frac{33}{50} \)

Vậy, kết quả của tổng B là \( \frac{33}{50} \).

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán này. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé! Chúc các em học tốt!