Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử nhé. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8.

Các hằng đẳng thức chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng là:

1. Bình phương của một tổng: \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
2. Bình phương của một hiệu: \( (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)
3. Hiệu hai bình phương: \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \)
4. Lập phương của một tổng: \( (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 \)
5. Lập phương của một hiệu: \( (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3 \)
6. Tổng hai lập phương: \( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) \)
7. Hiệu hai lập phương: \( A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2) \)

Bây giờ chúng ta sẽ đi vào giải từng bài tập cụ thể:

—

a) \( 4x^2 – 25 \)

Chúng ta nhận thấy đây là dạng hiệu của hai bình phương \( A^2 – B^2 \).

Để áp dụng, ta cần xác định \( A \) và \( B \):
\( 4x^2 \) có thể viết thành \( (2x)^2 \), vậy \( A = 2x \).
\( 25 \) có thể viết thành \( 5^2 \), vậy \( B = 5 \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \):

\( 4x^2 – 25 = (2x)^2 – 5^2 \)
\( = (2x – 5)(2x + 5) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(2x – 5)(2x + 5)} \).

—

b) \( 9 – (x – y)^2 \)

Tương tự như câu a, đây cũng là dạng hiệu của hai bình phương \( A^2 – B^2 \).

Để áp dụng, ta cần xác định \( A \) và \( B \):
\( 9 \) có thể viết thành \( 3^2 \), vậy \( A = 3 \).
\( (x – y)^2 \) chính là bình phương của \( (x – y) \), vậy \( B = x – y \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \):

\( 9 – (x – y)^2 = 3^2 – (x – y)^2 \)
\( = [3 – (x – y)][3 + (x – y)] \)
Bây giờ chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc vuông và đơn giản hóa biểu thức bên trong:
\( = (3 – x + y)(3 + x – y) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(3 – x + y)(3 + x – y)} \).

—

c) \( 8x^3 – y^3 \)

Chúng ta nhận thấy đây là dạng hiệu của hai lập phương \( A^3 – B^3 \).

Để áp dụng, ta cần xác định \( A \) và \( B \):
\( 8x^3 \) có thể viết thành \( (2x)^3 \), vậy \( A = 2x \).
\( y^3 \) chính là lập phương của \( y \), vậy \( B = y \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2) \):

\( 8x^3 – y^3 = (2x)^3 – y^3 \)
\( = (2x – y)[(2x)^2 + (2x)(y) + y^2] \)
Bây giờ chúng ta sẽ tính toán các số mũ và phép nhân trong ngoặc vuông:
\( = (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)} \).

—

d) \( 16x^2 – (2x + y)^2 \)

Đây lại là một ví dụ khác của dạng hiệu hai bình phương \( A^2 – B^2 \).

Để áp dụng, ta cần xác định \( A \) và \( B \):
\( 16x^2 \) có thể viết thành \( (4x)^2 \), vậy \( A = 4x \).
\( (2x + y)^2 \) chính là bình phương của \( (2x + y) \), vậy \( B = 2x + y \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \):

\( 16x^2 – (2x + y)^2 = (4x)^2 – (2x + y)^2 \)
\( = [4x – (2x + y)][4x + (2x + y)] \)
Bây giờ chúng ta sẽ bỏ dấu ngoặc tròn và đơn giản hóa biểu thức bên trong:
\( = (4x – 2x – y)(4x + 2x + y) \)
\( = (2x – y)(6x + y) \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(2x – y)(6x + y)} \).

—

e) \( 4x^2 – 12xy + 9y^2 \)

Khi nhìn vào biểu thức này, ta thấy có ba hạng tử, và hai hạng tử đầu tiên là bình phương của một biểu thức, hạng tử cuối cùng cũng là bình phương. Đây có thể là dạng bình phương của một hiệu \( A^2 – 2AB + B^2 \).

Để kiểm tra, ta xác định \( A \) và \( B \):
\( 4x^2 \) có thể viết thành \( (2x)^2 \), vậy \( A = 2x \).
\( 9y^2 \) có thể viết thành \( (3y)^2 \), vậy \( B = 3y \).

Bây giờ, ta kiểm tra hạng tử giữa \( -2AB \):

\( -2AB = -2(2x)(3y) = -12xy \)
Hạng tử này khớp với hạng tử giữa của biểu thức ban đầu \( -12xy \).

Vì vậy, ta có thể áp dụng hằng đẳng thức \( A^2 – 2AB + B^2 = (A – B)^2 \):

\( 4x^2 – 12xy + 9y^2 = (2x)^2 – 2(2x)(3y) + (3y)^2 \)
\( = (2x – 3y)^2 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(2x – 3y)^2} \).

—

f) \( (x + 1)^3 + y^3 \)

Chúng ta nhận thấy đây là dạng tổng của hai lập phương \( A^3 + B^3 \).

Để áp dụng, ta cần xác định \( A \) và \( B \):
\( (x + 1)^3 \) chính là lập phương của \( (x + 1) \), vậy \( A = x + 1 \).
\( y^3 \) chính là lập phương của \( y \), vậy \( B = y \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) \):

\( (x + 1)^3 + y^3 = [(x + 1) + y][(x + 1)^2 – (x + 1)y + y^2] \)
Bây giờ chúng ta sẽ đơn giản hóa từng nhân tử:
Nhân tử thứ nhất: \( (x + 1) + y = x + y + 1 \)
Nhân tử thứ hai: \( (x + 1)^2 – (x + 1)y + y^2 \)
Mở rộng \( (x + 1)^2 \) theo hằng đẳng thức \( (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2 \): \( x^2 + 2x + 1 \).
Mở rộng \( -(x + 1)y \): \( -xy – y \).
Vậy, nhân tử thứ hai là: \( x^2 + 2x + 1 – xy – y + y^2 \)
Sắp xếp lại các hạng tử trong nhân tử thứ hai để dễ nhìn hơn:
\( x^2 – xy + y^2 + 2x – y + 1 \)

Vậy, kết quả cuối cùng là \( \mathbf{(x + y + 1)(x^2 – xy + y^2 + 2x – y + 1)} \).

—

Các em nhớ luyện tập thường xuyên để nắm vững các hằng đẳng thức này nhé. Đây là nền tảng rất quan trọng cho các bài toán sau này!