Chúng ta sẽ lần lượt đi vào giải quyết từng câu một.

Câu a: \( (-5)^{2x+1} \) = \( \frac{-1}{125} \)

Trước tiên, chúng ta cần nhận ra rằng số \( \frac{-1}{125} \) có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của \( -5 \).

Chúng ta biết \( 125 = 5 \times 5 \times 5 = 5^3 \).

Vậy, \( \frac{-1}{125} \) có thể viết lại là \( \frac{-1}{5^3} \).

Nếu chúng ta muốn đưa dấu trừ vào bên trong lũy thừa, ta cần lưu ý rằng lũy thừa với số mũ lẻ sẽ giữ nguyên dấu của cơ số.

Ta có: \( (-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = 25 \times (-5) = -125 \).

Do đó, \( \frac{-1}{125} \) không thể viết trực tiếp dưới dạng lũy thừa của \( -5 \) với số mũ nguyên dương.

Tuy nhiên, nếu nhìn kỹ đề bài, chúng ta thấy \( \frac{-1}{125} \) là một số âm, và cơ số của chúng ta là \( -5 \) (một số âm).

Ta thử với số mũ lẻ:

\( (-5)^1 = -5 \)

\( (-5)^3 = -125 \)

À, vậy thì \( \frac{-1}{125} \) không phải là một lũy thừa trực tiếp của \( -5 \) với số mũ nguyên.

Có lẽ đề bài có một chút nhầm lẫn ở đây. Nếu đề bài là \( (-5)^{2x+1} = -125 \), thì ta sẽ giải như sau:

\( (-5)^{2x+1} = (-5)^3 \)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số âm và bằng nhau, thì số mũ của chúng phải bằng nhau.

\( 2x+1 = 3 \)

\( 2x = 3 – 1 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = \frac{2}{2} \)

\( x = 1 \)

Tuy nhiên, với đề bài gốc \( (-5)^{2x+1} = \frac{-1}{125} \), thì \( \frac{-1}{125} \) là một phân số, và \( -5 \) là một số nguyên. Để \( (-5)^{2x+1} \) là một phân số có mẫu số khác \( 1 \), thì \( 2x+1 \) phải là một số âm.

Nếu \( 2x+1 = -3 \), thì \( (-5)^{-3} = \frac{1}{(-5)^3} = \frac{1}{-125} = \frac{-1}{125} \).

Vậy ta có:

\( 2x+1 = -3 \)

\( 2x = -3 – 1 \)

\( 2x = -4 \)

\( x = \frac{-4}{2} \)

\( x = -2 \)

Vậy, nghiệm của câu a là \( x = -2 \).

Câu b: \( (-6)^{x+4} \) = \( \frac{-1}{216} \)

Tương tự như câu a, chúng ta cần biểu diễn \( \frac{-1}{216} \) dưới dạng lũy thừa của \( -6 \).

Ta biết \( 216 = 6 \times 6 \times 6 = 6^3 \).

Vậy, \( \frac{-1}{216} = \frac{-1}{6^3} \).

Để có \( \frac{-1}{216} \), ta cần số mũ của \( -6 \) là một số âm lẻ, sao cho \( (-6)^{\text{số mũ}} = -216 \).

Nếu \( x+4 = -3 \), ta có:

\( (-6)^{-3} = \frac{1}{(-6)^3} = \frac{1}{(-6) \times (-6) \times (-6)} = \frac{1}{36 \times (-6)} = \frac{1}{-216} = \frac{-1}{216} \).

Vậy, ta có phương trình:

\( x+4 = -3 \)

\( x = -3 – 4 \)

\( x = -7 \)

Vậy, nghiệm của câu b là \( x = -7 \).

Câu c: \( (-5)^{2x+2} \) = \( \frac{1}{36} \)

Ở đây, vế phải là một số dương. Cơ số \( -5 \) là số âm. Để một lũy thừa với cơ số âm là số dương, số mũ của nó phải là một số chẵn.

Chúng ta cần biểu diễn \( \frac{1}{36} \) dưới dạng lũy thừa của \( -5 \).

Ta biết \( 36 = 6 \times 6 = 6^2 \).

Vậy, \( \frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} \).

Tuy nhiên, \( \frac{1}{36} \) không thể viết trực tiếp dưới dạng lũy thừa của \( -5 \) vì \( 36 \) không phải là lũy thừa của \( 5 \).

Có thể đề bài có nhầm lẫn. Nếu đề bài là \( (-6)^{2x+2} = \frac{1}{36} \), ta giải như sau:

\( 36 = 6^2 \). Vậy \( \frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2} \).

Ta cần \( (-6)^{\text{số mũ}} = 6^{-2} \).

Vì \( \frac{1}{36} \) là số dương, nên số mũ \( 2x+2 \) phải là số chẵn.

Ta thử với số mũ \( -2 \):

\( (-6)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} = \frac{1}{36} \).

Vậy, ta có:

\( 2x+2 = -2 \)

\( 2x = -2 – 2 \)

\( 2x = -4 \)

\( x = \frac{-4}{2} \)

\( x = -2 \)

Nếu đề bài đúng là \( (-5)^{2x+2} = \frac{1}{36} \), thì không có số nguyên \( x \) nào thỏa mãn vì \( 36 \) không phải là lũy thừa của \( 5 \).

Giả sử đề bài là \( (\frac{-1}{5})^{2x+2} = \frac{1}{36} \) thì cũng không giải được.

Cô giả định đề bài là \( (-6)^{2x+2} = \frac{1}{36} \). Khi đó, \( x = -2 \).

Câu d: \( (-4)^{x+3} \) = \( \frac{-1}{64} \)

Chúng ta cần biểu diễn \( \frac{-1}{64} \) dưới dạng lũy thừa của \( -4 \).

Ta biết \( 64 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 \).

Vậy, \( \frac{-1}{64} = \frac{-1}{4^3} \).

Để có \( \frac{-1}{64} \), ta cần số mũ của \( -4 \) là một số âm lẻ, sao cho \( (-4)^{\text{số mũ}} = -64 \).

Nếu \( x+3 = -3 \), ta có:

\( (-4)^{-3} = \frac{1}{(-4)^3} = \frac{1}{(-4) \times (-4) \times (-4)} = \frac{1}{16 \times (-4)} = \frac{1}{-64} = \frac{-1}{64} \).

Vậy, ta có phương trình:

\( x+3 = -3 \)

\( x = -3 – 3 \)

\( x = -6 \)

Vậy, nghiệm của câu d là \( x = -6 \).

Câu e: \( (-3)^{x+5} \) = \( \frac{1}{81} \)

Vế phải là số dương, cơ số là số âm, nên số mũ \( x+5 \) phải là số chẵn.

Chúng ta cần biểu diễn \( \frac{1}{81} \) dưới dạng lũy thừa của \( -3 \).

Ta biết \( 81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 \).

Vậy, \( \frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} \).

Ta có \( (-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 9 \times 9 = 81 \).

Do đó, \( \frac{1}{81} = \frac{1}{(-3)^4} = (-3)^{-4} \).

Vậy, ta có phương trình:

\( x+5 = -4 \)

\( x = -4 – 5 \)

\( x = -9 \)

Kiểm tra lại, số mũ \( x+5 = -9+5 = -4 \), là số chẵn, phù hợp với điều kiện.

Vậy, nghiệm của câu e là \( x = -9 \).

Câu f: \( (-5)^{x+1} \) = \( \frac{1}{25} \)

Vế phải là số dương, cơ số là số âm, nên số mũ \( x+1 \) phải là số chẵn.

Chúng ta cần biểu diễn \( \frac{1}{25} \) dưới dạng lũy thừa của \( -5 \).

Ta biết \( 25 = 5 \times 5 = 5^2 \).

Vậy, \( \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} \).

Ta có \( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \).

Do đó, \( \frac{1}{25} = \frac{1}{(-5)^2} = (-5)^{-2} \).

Vậy, ta có phương trình:

\( x+1 = -2 \)

\( x = -2 – 1 \)

\( x = -3 \)

Kiểm tra lại, số mũ \( x+1 = -3+1 = -2 \), là số chẵn, phù hợp với điều kiện.

Vậy, nghiệm của câu f là \( x = -3 \).

Các em thấy đó, để giải những bài toán này, điều quan trọng là chúng ta phải nhận ra mối liên hệ giữa cơ số và giá trị của lũy thừa ở vế bên phải, và khéo léo đưa chúng về cùng một cơ số. Đặc biệt, hãy chú ý đến dấu của cơ số và tính chẵn lẻ của số mũ.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé! Chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và luyện tập thêm dạng bài này trong các buổi học tiếp theo.

Chúc các em học tốt!