Đề bài cho chúng ta hai biểu thức:

A = \( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} \)

B = \( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3} \)

Và chúng ta cần tìm giá trị của x sao cho P = A : B thỏa mãn điều kiện |P| + P = 0.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức

Để các biểu thức A và B có nghĩa, chúng ta cần:

1. \( \sqrt{x} \) phải xác định, tức là \( x \ge 0 \).
2. Mẫu số của A phải khác 0: \( \sqrt{x} \ne 0 \), suy ra \( x \ne 0 \).
3. Mẫu số của B phải khác 0: \( \sqrt{x}-3 \ne 0 \), suy ra \( \sqrt{x} \ne 3 \), hay \( x \ne 9 \).

Kết hợp lại, điều kiện xác định của bài toán là \( x > 0 \) và \( x \ne 9 \).

Bước 2: Tính biểu thức P

Ta có P = A : B, nghĩa là P = A * (1/B).

P = \( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} \div \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3} \)

P = \( \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} \times \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1} \)

Trong trường hợp \( \sqrt{x}-1 \ne 0 \) (tức là \( x \ne 1 \)), chúng ta có thể rút gọn:

P = \( \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}} \)

Chúng ta sẽ xem xét trường hợp \( x=1 \) sau.

Bước 3: Giải phương trình |P| + P = 0

Phương trình |P| + P = 0 tương đương với |P| = -P.

Điều này chỉ xảy ra khi P \( \le \) 0.

Vậy chúng ta cần giải bất phương trình \( \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}} \le 0 \).

Vì điều kiện xác định là \( x > 0 \), nên \( \sqrt{x} > 0 \).

Do đó, để phân số \( \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}} \) không dương, tử số phải không dương:

\( \sqrt{x}-3 \le 0 \)

\( \sqrt{x} \le 3 \)

Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều không âm), ta được:

\( x \le 9 \)

Bước 4: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả

Chúng ta có các điều kiện sau:

• Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \ne 9 \).
• Điều kiện từ bất phương trình: \( x \le 9 \).

Kết hợp lại, chúng ta có \( 0 < x < 9 \).

Bước 5: Xem xét trường hợp đặc biệt x = 1

Ở bước 2, chúng ta đã giả định \( \sqrt{x}-1 \ne 0 \) để rút gọn biểu thức P. Bây giờ, ta cần kiểm tra trường hợp \( x=1 \).

Nếu \( x=1 \), thì \( \sqrt{x} = 1 \).

A = \( \frac{1-1}{1} = 0 \)

B = \( \frac{1-1}{1-3} = \frac{0}{-2} = 0 \)

Khi đó, P = A : B = 0 : 0, biểu thức này không xác định.

Do đó, \( x=1 \) không phải là nghiệm của bài toán.

Bước 6: Kiểm tra lại nghiệm

Chúng ta đã tìm được miền nghiệm là \( 0 < x < 9 \). Với bất kỳ giá trị x nào trong khoảng này (và x khác 1, x khác 9), ta đều có \( \sqrt{x} < 3 \) và \( \sqrt{x} > 0 \).

Khi đó, \( \sqrt{x}-3 < 0 \) và \( \sqrt{x} > 0 \), suy ra P = \( \frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}} < 0 \).

Nếu P < 0, thì |P| = -P.

Thay vào phương trình |P| + P = 0, ta được -P + P = 0, điều này luôn đúng.

Vậy, tất cả các giá trị x thỏa mãn \( 0 < x < 9 \) và \( x \ne 1 \) đều là nghiệm.

Kết luận:

Tập hợp các giá trị của x thỏa mãn điều kiện |P| + P = 0 là các số thực x sao cho \( 0 < x < 9 \) và \( x \ne 1 \).

Các em thấy bài toán này có thú vị không? Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ hỏi nhé!