Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về biểu thức chứa căn bậc hai. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững điều kiện xác định, cách rút gọn biểu thức và giải bất phương trình.

Bài toán của chúng ta như sau:

Cho các biểu thức:

\(A = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}\)
\(B = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
Cho \(P = A \times B\). Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(|P|+P=0\).

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức A và B.

Để các biểu thức \(A\) và \(B\) có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:

• Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

  \(x \ge 0\)

• Các mẫu số phải khác 0:
  • Đối với biểu thức \(A\): mẫu số là \(\sqrt{x}-1\).

    \(\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1\)

  • Đối với biểu thức \(B\): mẫu số là \(\sqrt{x}+1\).

    Vì \(\sqrt{x} \ge 0\) (do \(x \ge 0\)) nên \(\sqrt{x}+1 \ge 1\). Do đó, \(\sqrt{x}+1\) luôn khác 0 với mọi \(x \ge 0\).

Vậy, điều kiện xác định chung của các biểu thức là: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức P.

Theo đề bài, \(P = A \times B\).

\(P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} \times \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

Quan sát biểu thức, chúng ta thấy có nhân tử chung \(\sqrt{x}-1\) ở cả tử số và mẫu số. Với điều kiện \(x \ne 1\), \(\sqrt{x}-1 \ne 0\), nên chúng ta có thể rút gọn:

\(P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)

Biểu thức \(P\) được rút gọn là \(P = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\) với điều kiện \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Bước 3: Phân tích điều kiện \(|P|+P=0\).

Chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \(|P|+P=0\).

Nhớ lại định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

• Nếu \(P \ge 0\), thì \(|P|=P\). Khi đó, phương trình trở thành \(P+P=0 \Rightarrow 2P=0 \Rightarrow P=0\).
• Nếu \(P < 0\), thì \(|P|=-P\). Khi đó, phương trình trở thành \((-P)+P=0 \Rightarrow 0=0\). Điều này luôn đúng.

Vậy, điều kiện \(|P|+P=0\) tương đương với \(P \le 0\).

Bước 4: Giải bất phương trình \(P \le 0\).

Chúng ta cần giải bất phương trình \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} \le 0\).

Để xét dấu của phân thức này, chúng ta xem xét dấu của tử số và mẫu số:

• Xét mẫu số: \(\sqrt{x}+1\)

  Với điều kiện \(x \ge 0\), ta có \(\sqrt{x} \ge 0\). Do đó, \(\sqrt{x}+1 \ge 1\). Mẫu số \(\sqrt{x}+1\) luôn dương với mọi \(x \ge 0\).

• Xét tử số: \(\sqrt{x}-2\)

Vì mẫu số luôn dương, để phân thức \(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\) nhỏ hơn hoặc bằng 0, thì tử số phải nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Do đó, chúng ta có: \(\sqrt{x}-2 \le 0\)

\(\Rightarrow \sqrt{x} \le 2\)

Bình phương cả hai vế (vì cả hai vế đều không âm), ta được:

\(x \le 2^2\)

\(x \le 4\)

Bước 5: Kết hợp các điều kiện và tìm giá trị nguyên của x.

Chúng ta có các điều kiện sau:

1. Điều kiện xác định: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).
2. Kết quả giải bất phương trình: \(x \le 4\).
3. Yêu cầu đề bài: \(x\) là số nguyên.

Kết hợp điều kiện 1 và 2, ta được: \(0 \le x \le 4\) và \(x \ne 1\).

Bây giờ, chúng ta chọn các giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện này:

• Các số nguyên trong khoảng \([0, 4]\) là: \(0, 1, 2, 3, 4\).
• Loại bỏ giá trị \(x=1\) (do điều kiện \(x \ne 1\)).

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(0, 2, 3, 4\).

Kết luận:

Các giá trị nguyên của \(x\) để \(|P|+P=0\) là \(0, 2, 3, 4\).

Các em nhớ trình bày bài làm một cách chi tiết và rõ ràng theo các bước như trên để đảm bảo không bỏ sót bất kì điều kiện nào nhé. Chúc các em học tốt!