Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán liên quan đến biểu thức chứa căn thức. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) sao cho một biểu thức cho trước thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài toán:
Cho hai biểu thức:
\(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)
\(B = \frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
Tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(5A+B \le 3\).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức \(A\) và \(B\) có nghĩa, chúng ta cần:

• Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).
• Mẫu số phải khác 0: \(\sqrt{x}+2 \ne 0\). Vì \(\sqrt{x} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+2 \ge 2 > 0\). Điều này luôn đúng.

Vậy, điều kiện xác định của bài toán là \(x \ge 0\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức \(5A+B\).

Ta có:

\(5A+B = 5 \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \right) + \frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
\(5A+B = \frac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \frac{3}{\sqrt{x}+2}\)
\(5A+B = \frac{5\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\)

Bước 3: Giải bất phương trình \(5A+B \le 3\).

Ta có bất phương trình:

\(\frac{5\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} \le 3\)

Chuyển 3 sang vế trái:

\(\frac{5\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} – 3 \le 0\)

Quy đồng mẫu số:

\(\frac{5\sqrt{x}+3 – 3(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+2} \le 0\)
\(\frac{5\sqrt{x}+3 – 3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+2} \le 0\)
\(\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2} \le 0\)

Do điều kiện xác định, ta có \(\sqrt{x}+2 > 0\). Vì vậy, để phân số này không dương, tử số phải không dương:

\(2\sqrt{x}-3 \le 0\)
\(2\sqrt{x} \le 3\)
\(\sqrt{x} \le \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của bất phương trình (do cả hai vế đều không âm):

\((\sqrt{x})^2 \le \left(\frac{3}{2}\right)^2\)
\(x \le \frac{9}{4}\)

Bước 4: Kết hợp với điều kiện xác định để tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\).

Chúng ta có hai điều kiện:

• \(x \ge 0\) (điều kiện xác định)
• \(x \le \frac{9}{4}\) (từ bất phương trình)

Kết hợp lại, ta có \(0 \le x \le \frac{9}{4}\).

Ta biết \(\frac{9}{4} = 2.25\).

Vậy, \(0 \le x \le 2.25\).

Chúng ta cần tìm giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn điều kiện này.

Các giá trị nguyên của \(x\) có thể là: 0, 1, 2.

Giá trị nguyên lớn nhất trong các giá trị này là 2.

Kết luận:

Giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) để \(5A+B \le 3\) là 2.

Các em có thắc mắc gì về bài giải không?