a) Cho các số tự nhiên x, y thỏa mãn 2 ^ x = 8 ^ (y – 2) và 27 ^ (x – 2) = 3 ^ y…
b) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn: 19 ^ x + 5 ^ y + 1980z = 1975 ^ 430 + 2004
Chào các em học sinh lớp 6!
Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải hai bài toán thú vị liên quan đến lũy thừa và các số tự nhiên. Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách biến đổi các biểu thức lũy thừa và vận dụng kiến thức về chữ số tận cùng để giải quyết bài toán nhé!
Bài a)
Cho các số tự nhiên x, y thỏa mãn \( 2^x = 8^{(y – 2)} \) và \( 27^{(x – 2)} = 3^y \). Tính x + y.
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta cần đưa các lũy thừa về cùng cơ số. Ta có:
1. Xét phương trình thứ nhất:
\( 2^x = 8^{(y – 2)} \)
Vì \( 8 = 2^3 \), ta thay vào phương trình:
\( 2^x = (2^3)^{(y – 2)} \)
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
\( 2^x = 2^{3 \cdot (y – 2)} \)
\( 2^x = 2^{3y – 6} \)
Khi hai lũy thừa cùng cơ số mà bằng nhau thì số mũ của chúng phải bằng nhau. Do đó:
\( x = 3y – 6 \) (Phương trình A)
2. Xét phương trình thứ hai:
\( 27^{(x – 2)} = 3^y \)
Vì \( 27 = 3^3 \), ta thay vào phương trình:
\( (3^3)^{(x – 2)} = 3^y \)
Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:
\( 3^{3 \cdot (x – 2)} = 3^y \)
\( 3^{3x – 6} = 3^y \)
Tương tự, số mũ của chúng phải bằng nhau:
\( 3x – 6 = y \) (Phương trình B)
3. Giải hệ phương trình A và B:
Chúng ta có hệ phương trình:
\( x = 3y – 6 \)
\( y = 3x – 6 \)
Thế phương trình B vào phương trình A:
\( x = 3 \cdot (3x – 6) – 6 \)
\( x = 9x – 18 – 6 \)
\( x = 9x – 24 \)
Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về vế còn lại:
\( 24 = 9x – x \)
\( 24 = 8x \)
\( x = \frac{24}{8} \)
\( x = 3 \)
Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \( x = 3 \) vào phương trình B để tìm \( y \):
\( y = 3x – 6 \)
\( y = 3 \cdot 3 – 6 \)
\( y = 9 – 6 \)
\( y = 3 \)
Kiểm tra điều kiện: \( x = 3 \) và \( y = 3 \) đều là các số tự nhiên, vậy thỏa mãn.
4. Tính x + y:
\( x + y = 3 + 3 = 6 \)
Vậy, giá trị của \( x + y \) là 6.
Bài b)
Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn: \( 19^x + 5^y + 1980z = 1975^{430} + 2004 \)
Lời giải:
Với các bài toán tìm số tự nhiên có dạng này, chúng ta thường xét chữ số tận cùng của các số hạng trong phương trình.
1. Xét chữ số tận cùng của vế phải (VP):
- Chữ số tận cùng của \( 1975^{430} \): Bất kỳ số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 5 khi nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên (khác 0) đều có chữ số tận cùng là 5. Do đó, chữ số tận cùng của \( 1975^{430} \) là 5.
- Chữ số tận cùng của \( 2004 \): là 4.
- Chữ số tận cùng của VP: \( LD(1975^{430} + 2004) = LD(5 + 4) = LD(9) = 9 \).
Vậy, chữ số tận cùng của vế phải là 9.
2. Xét chữ số tận cùng của vế trái (VT):
VT = \( 19^x + 5^y + 1980z \)
- Chữ số tận cùng của \( 1980z \): Vì 1980 có chữ số tận cùng là 0, nên \( 1980z \) (với z là số tự nhiên) sẽ luôn có chữ số tận cùng là 0.
- Chữ số tận cùng của \( 19^x \):
- Nếu \( x = 0 \), \( 19^0 = 1 \), chữ số tận cùng là 1.
- Nếu \( x \) là số chẵn (ví dụ: \( 19^2 = 361 \)), chữ số tận cùng là 1.
- Nếu \( x \) là số lẻ (ví dụ: \( 19^1 = 19 \), \( 19^3 = 6859 \)), chữ số tận cùng là 9.
- Chữ số tận cùng của \( 5^y \):
- Nếu \( y = 0 \), \( 5^0 = 1 \), chữ số tận cùng là 1.
- Nếu \( y \) là số tự nhiên khác 0 (ví dụ: \( 5^1 = 5 \), \( 5^2 = 25 \)), chữ số tận cùng là 5.
Bây giờ, chúng ta sẽ xét các trường hợp của \( x \) và \( y \) để tìm chữ số tận cùng của VT:
Chữ số tận cùng của VT là \( LD(19^x) + LD(5^y) + LD(1980z) \pmod{10} \)
Tức là \( LD(19^x) + LD(5^y) + 0 \equiv 9 \pmod{10} \)
Hay \( LD(19^x) + LD(5^y) \equiv 9 \pmod{10} \)
Trường hợp 1: x là số chẵn (hoặc x=0) và y = 0
- \( LD(19^x) = 1 \)
- \( LD(5^y) = 1 \)
- Tổng chữ số tận cùng: \( 1 + 1 = 2 \). (Không bằng 9)
Trường hợp 2: x là số chẵn (hoặc x=0) và y > 0
- \( LD(19^x) = 1 \)
- \( LD(5^y) = 5 \)
- Tổng chữ số tận cùng: \( 1 + 5 = 6 \). (Không bằng 9)
Trường hợp 3: x là số lẻ và y = 0
- \( LD(19^x) = 9 \)
- \( LD(5^y) = 1 \)
- Tổng chữ số tận cùng: \( 9 + 1 = 10 \). Chữ số tận cùng là 0. (Không bằng 9)
Trường hợp 4: x là số lẻ và y > 0
- \( LD(19^x) = 9 \)
- \( LD(5^y) = 5 \)
- Tổng chữ số tận cùng: \( 9 + 5 = 14 \). Chữ số tận cùng là 4. (Không bằng 9)
3. Kết luận:
Qua việc xét tất cả các trường hợp có thể của chữ số tận cùng, chúng ta thấy rằng không có trường hợp nào mà tổng chữ số tận cùng của \( 19^x + 5^y \) lại bằng 9.
Điều này có nghĩa là không tồn tại các số tự nhiên x, y, z nào thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy, không có số tự nhiên x, y, z nào thỏa mãn biểu thức trên.
\( color{#e6f0ff}{@}color{#c7ddff}{H}color{#99c2ff}{a}color{#66a3ff}{ch}color{#3385ff}{i}color{#0066ff}{Ma}color{#0044cc}{ri}color{#002d80}{n}color{#001b4d}{e}color{#000a1a}{@} \)
\( a) \) Ta có :
\( 2^x = 8^( y – 2 ) \)
\( 27^( x – 2 ) = 3^y \)
\( to 2^x = ( 2^3 )^( y – 2 ) \)
\( 2^x = 2^( 3 ( y – 2 ) ) \)
\( x = 3 ( y – 2 ) \)
\( x = 3y – 6 ( 1 ) \)
\( ( 3^3 )^(x-2) = 3^y \)
\( 3^(3 ( x – 2 ) ) = 3^y \)
\( 3 ( x – 2 ) = y \)
\( 3x – 6 = y ( 2 ) \)
Thay \( x = 3y – 6 \) vào \( ( 2 ) \) , ta có :
\( 3 ( 3y – 6 ) – 6 = y \)
\( 9y – 18 – 6 = y \)
\( 9y – 24 = y \)
\( 8y = 24 \)
\( y = 3 \)
Thay \( y = 3 \) vào \( ( 1 ) \) , ta có :
\( x = 3 * 3 – 6 \)
\( x = 3 \)
Vậy \( : x + y = 3 + 3 = 6 \)
Vậy \( : x + y = 6 \)
\( b) \) Ta có : Xét :
\( 1975 \) là số lẻ nên \( 1975^430 \) là số lẻ .
\( 2004 \) là số chẵn
\( to \) Vế phải là số lẻ .
Để vế trái bằng vế phải thì \( 19^x + 5^y + 1980z \) cũng là số lẻ .
Ta thấy \( 1980z \) luôn là số chẵn với mọi \( z \)
\( to 19^x + 5^y \) là số lẻ
Ta thấy : Cơ số của \( 19 \) và \( 5 \) đều là các số lẻ nên \( 19^x \) và \( 5^y \) luôn là số lẻ với mọi \( x \) và \( y \)
Vì \( 19^x \) là \( 5^y \) luôn là số lẻ
\( to 19^x + 5^y \) là số chẵn .
\( to \) Vế trái \( 19^x + 5^y + 1980z \) là số chẵn , vế phải là số lẻ
Một số chẵn không thể bằng số lẻ
\( to VT \ne VP \)
Vậy : Không có các số tự nhiên \( x , y , z \) nào thỏa mãn đề bài .
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
Chưa học tương đương \(<=>\) thì thay bằng “hay” nhé:
\(a)\)
\(@\) Hệ pt:
\({(2^x=8^(y-2)),(27^(x-2)=3^y):}\)
\(<=>{(2^x=(2^3)^(y-2)),((3^3)^(x-2)=3^y):}\)
\(<=>{(2^x=2^(3.(y-2))),(3^(3.(x-2))=3^y):}\)
\(=>{(x=3(y-2)),(y=3(x-2)):}\)
\(<=>{(x=3y-6(1)),(y=3x-6(2)):}\)
Thay pt \((2)\) vào \((1):\)
\(=>x=3(3x-6)-6=9x-18-6=9x-24\)
hay \(24=9x-x=8x\)
\(=>x=24/8=3\)
\(=>y=3x-6=3.3-6=9-6=3\)
\(=>x+y=3+3=6\)
\(—————-\)
\(b)\)
\(@\) Xét pt:
\( 19 ^ x + 5 ^ y + 1980z = 1975 ^ 430 + 2004\)
\(-\) Ta có:
\(VT=19 ^ x + 5 ^ y + 1980z\)
\(@\) \(19^x\) luôn luôn lẻ vì cơ số \(19\) là số lẻ.
\(@\) \(5^y\) luôn luôn lẻ vì cơ số \(5\) là số lẻ.
\(@\) \(1980z\) luôn luôn chắn vì \(1980\) là số chẵn.
\(=>\) Lẻ + Lẻ + Chẵn = Chẵn
Do đó: \(VT\) luôn luôn chẵn.
`\(
\)VP=1975 ^ 430 + 2004\(
\)@\( \)1975^430\( luôn luôn lẻ vì cơ số \)1975\( là số lẻ.
\)@\( \)2004\( là số chẵn.
\)=>\( Lẻ + Chẵn = Lẻ
Do đó \)VP\( luôn luôn lẻ.
\)\(
Từ đó suy ra: \)VT\neVP\(
\)=>\( Không tồn tại \)x,y,z\( như đề cho.
\)—————\(
\)MINHNGUYEN5751`
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment