a) Cho các số tự nhiên x, y thỏa mãn 2 ^ x = 8 ^ (y – 2) và 27 ^ (x…
b) Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn: 19 ^ x + 5 ^ y + 1980z = 1975 ^ 430 + 2004
Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết hai bài toán tìm số tự nhiên x, y, z trong chương trình Toán lớp 6 nhé. Đây là dạng toán rất hay về lũy thừa và tính chất chia hết. Chúng ta cùng bắt đầu nào!
Phần a: Tìm x và y thỏa mãn hệ thức lũy thừa
Để giải quyết bài toán này, phương pháp chung của chúng ta là đưa các vế về cùng một cơ số. Cụ thể:
- Bước 1: Xét phương trình thứ nhất. Ta biết rằng số 8 chính là 3 lũy thừa của 2 (tức là 2 mũ 3). Do đó, ta thay số 8 bằng 2 lũy thừa 3. Khi đó, vế phải sẽ là lũy thừa của lũy thừa, ta nhân số mũ với nhau.
- Bước 2: Vì hai vế có cùng cơ số là 2, nên ta cho hai số mũ bằng nhau để lập thành phương trình thứ nhất chứa x và y.
- Bước 3: Xét phương trình thứ hai. Ta làm tương tự bằng cách đưa về cơ số 3, vì số 27 chính là 3 lũy thừa 3. Ta cũng nhân số mũ và cho hai số mũ bằng nhau để lập thành phương trình thứ hai.
- Bước 4: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được để tính ra giá trị cụ thể của x và y.
- Bước 5: Sau khi tìm được x và y, ta cộng lại để ra kết quả cuối cùng theo yêu cầu của đề bài là x + y bằng 8.
Phần b: Tìm các số tự nhiên x, y, z với đẳng thức lớn
Bài toán này thoạt nhìn có vẻ rất phức tạp vì các con số vô cùng lớn, nhưng bí quyết nằm ở việc xét số dư trong phép chia cho một số tự nhiên nào đó (thường là dùng tính chất chẵn lẻ hoặc chia hết cho 3, cho 5). Chúng ta cùng phân tích nhé:
- Bước 1: Ta xét vế phải của đẳng thức. Số hạng đầu tiên có tận cùng là 5 nâng lên lũy thừa thì vẫn có chữ số tận cùng là 5. Cộng thêm 2004, ta sẽ xác định được chữ số tận cùng của cả vế phải là chữ số 9, từ đó suy ra vế phải là một số lẻ.
- Bước 2: Quay sang vế trái, ta phân tích biểu thức gồm có 19 mũ x, 5 mũ y và 1980 nhân z. Vì vế phải là số lẻ, và số 1980 nhân z luôn là số chẵn, 5 mũ y luôn là số lẻ, nên để tổng ở vế trái là số lẻ thì số 19 mũ x bắt buộc phải là số chẵn. Điều này vô lý vì 19 mũ mấy lên cũng là số lẻ. Do đó, ta phải chuyển hướng sang phương pháp xét số dư cho 3 hoặc cho 5.
- Bước 3: Xét tính chia hết cho 5. Ta thấy 19 chia 5 dư 4, nên 19 mũ x chia 5 sẽ có quy luật số dư. Vế phải khi chia cho 5 sẽ cho số dư xác định. Từ đó ta biện luận để tìm ra giá trị của y.
- Bước 4: Sau khi tìm được ẩn y, ta tiếp tục thay vào phương trình, thu gọn và sử dụng phương pháp kẹp giữa hoặc xét số dư cho 3 để tìm nốt ẩn x và ẩn z.
- Bước 5: Đối với dạng toán này ở lớp 6, thường các ẩn x, y, z sẽ có giá trị nhỏ (như bằng 0 hoặc bằng 1). Sau khi thử chọn và chứng minh chặt chẽ, ta tìm được các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Các em hãy ghi chép lại các bước giải chi tiết này vào vở, tự mình làm lại một lần nữa để hiểu sâu hơn nhé. Chúc các em học tập thật tốt!
\( color{#e6f0ff}{@}color{#c7ddff}{H}color{#99c2ff}{a}color{#66a3ff}{ch}color{#3385ff}{i}color{#0066ff}{Ma}color{#0044cc}{ri}color{#002d80}{n}color{#001b4d}{e}color{#000a1a}{@} \)
\( a) \) Ta có :
\( 2^x = 8^( y – 2 ) \)
\( 27^( x – 2 ) = 3^y \)
\( to 2^x = ( 2^3 )^( y – 2 ) \)
\( 2^x = 2^( 3 ( y – 2 ) ) \)
\( x = 3 ( y – 2 ) \)
\( x = 3y – 6 ( 1 ) \)
\( ( 3^3 )^(x-2) = 3^y \)
\( 3^(3 ( x – 2 ) ) = 3^y \)
\( 3 ( x – 2 ) = y \)
\( 3x – 6 = y ( 2 ) \)
Thay \( x = 3y – 6 \) vào \( ( 2 ) \) , ta có :
\( 3 ( 3y – 6 ) – 6 = y \)
\( 9y – 18 – 6 = y \)
\( 9y – 24 = y \)
\( 8y = 24 \)
\( y = 3 \)
Thay \( y = 3 \) vào \( ( 1 ) \) , ta có :
\( x = 3 * 3 – 6 \)
\( x = 3 \)
Vậy \( : x + y = 3 + 3 = 6 \)
Vậy \( : x + y = 6 \)
\( b) \) Ta có : Xét :
\( 1975 \) là số lẻ nên \( 1975^430 \) là số lẻ .
\( 2004 \) là số chẵn
\( to \) Vế phải là số lẻ .
Để vế trái bằng vế phải thì \( 19^x + 5^y + 1980z \) cũng là số lẻ .
Ta thấy \( 1980z \) luôn là số chẵn với mọi \( z \)
\( to 19^x + 5^y \) là số lẻ
Ta thấy : Cơ số của \( 19 \) và \( 5 \) đều là các số lẻ nên \( 19^x \) và \( 5^y \) luôn là số lẻ với mọi \( x \) và \( y \)
Vì \( 19^x \) là \( 5^y \) luôn là số lẻ
\( to 19^x + 5^y \) là số chẵn .
\( to \) Vế trái \( 19^x + 5^y + 1980z \) là số chẵn , vế phải là số lẻ
Một số chẵn không thể bằng số lẻ
\( to VT \ne VP \)
Vậy : Không có các số tự nhiên \( x , y , z \) nào thỏa mãn đề bài .
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải:
Chưa học tương đương \(<=>\) thì thay bằng “hay” nhé:
\(a)\)
\(@\) Hệ pt:
\({(2^x=8^(y-2)),(27^(x-2)=3^y):}\)
\(<=>{(2^x=(2^3)^(y-2)),((3^3)^(x-2)=3^y):}\)
\(<=>{(2^x=2^(3.(y-2))),(3^(3.(x-2))=3^y):}\)
\(=>{(x=3(y-2)),(y=3(x-2)):}\)
\(<=>{(x=3y-6(1)),(y=3x-6(2)):}\)
Thay pt \((2)\) vào \((1):\)
\(=>x=3(3x-6)-6=9x-18-6=9x-24\)
hay \(24=9x-x=8x\)
\(=>x=24/8=3\)
\(=>y=3x-6=3.3-6=9-6=3\)
\(=>x+y=3+3=6\)
\(—————-\)
\(b)\)
\(@\) Xét pt:
\( 19 ^ x + 5 ^ y + 1980z = 1975 ^ 430 + 2004\)
\(-\) Ta có:
\(VT=19 ^ x + 5 ^ y + 1980z\)
\(@\) \(19^x\) luôn luôn lẻ vì cơ số \(19\) là số lẻ.
\(@\) \(5^y\) luôn luôn lẻ vì cơ số \(5\) là số lẻ.
\(@\) \(1980z\) luôn luôn chắn vì \(1980\) là số chẵn.
\(=>\) Lẻ + Lẻ + Chẵn = Chẵn
Do đó: \(VT\) luôn luôn chẵn.
`\(
\)VP=1975 ^ 430 + 2004\(
\)@\( \)1975^430\( luôn luôn lẻ vì cơ số \)1975\( là số lẻ.
\)@\( \)2004\( là số chẵn.
\)=>\( Lẻ + Chẵn = Lẻ
Do đó \)VP\( luôn luôn lẻ.
\)\(
Từ đó suy ra: \)VT\neVP\(
\)=>\( Không tồn tại \)x,y,z\( như đề cho.
\)—————\(
\)MINHNGUYEN5751`
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment