Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em cách chứng minh các bài toán chia hết. Đây là một dạng bài rất thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Chúng ta sẽ cùng giải quyết từng bài một.

A) Chứng minh \(A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{11}\) chia hết cho 4

Để chứng minh một tổng chia hết cho một số, chúng ta có thể nhóm các số hạng lại với nhau sao cho tổng của mỗi nhóm chia hết cho số đó.

Quan sát các số hạng đầu tiên, ta thấy:

\(1 + 3 = 4\). À, số 4 này chia hết cho 4 rồi!

Vậy thì, chúng ta thử nhóm các số hạng của tổng A thành từng cặp nhé:

\(A = (1 + 3) + (3^2 + 3^3) + \dots + (3^{10} + 3^{11})\)

Đầu tiên, chúng ta đếm xem tổng A có bao nhiêu số hạng. Số mũ đi từ 0 (vì \(3^0 = 1\)) đến 11. Vậy có tất cả \(11 – 0 + 1 = 12\) số hạng.

Vì có 12 số hạng, là một số chẵn, nên chúng ta có thể nhóm thành 12 : 2 = 6 cặp mà không thừa số hạng nào.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét từng nhóm:

Nhóm thứ nhất: \(1 + 3 = 4\). Rõ ràng 4 chia hết cho 4.

Nhóm thứ hai: \(3^2 + 3^3\). Chúng ta có thể đặt \(3^2\) làm thừa số chung:

\(3^2 + 3^3 = 3^2 \cdot (1 + 3) = 3^2 \cdot 4\). Số này cũng chia hết cho 4 vì có thừa số 4.

Nhóm thứ ba: \(3^4 + 3^5 = 3^4 \cdot (1 + 3) = 3^4 \cdot 4\). Số này cũng chia hết cho 4.

Cứ như vậy, tất cả các nhóm còn lại đều có dạng \(3^k \cdot (1+3) = 3^k \cdot 4\), và do đó chúng đều chia hết cho 4.

Vì tổng A là tổng của các số hạng mà mỗi số hạng đều chia hết cho 4, nên tổng A cũng chia hết cho 4.

Vậy, \(A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{11}\) chia hết cho 4. (Điều phải chứng minh)

B) Chứng minh \(B = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{60}\) chia hết cho 7

Tương tự như bài A, chúng ta sẽ thử nhóm các số hạng lại với nhau. Mục tiêu là tìm một nhóm có tổng chia hết cho 7.

Hãy xem xét các số hạng đầu tiên:

\(2^1 = 2\)

\(2^2 = 4\)

\(2^3 = 8\)

Tổng của ba số hạng này là: \(2 + 4 + 8 = 14\).
À, 14 chia hết cho 7! Tuyệt vời!

Vậy chúng ta sẽ nhóm các số hạng của tổng B thành từng nhóm ba số hạng:

\(B = (2 + 2^2 + 2^3) + (2^4 + 2^5 + 2^6) + \dots + (2^{58} + 2^{59} + 2^{60})\)

Tổng B có tất cả 60 số hạng (từ \(2^1\) đến \(2^{60}\)).

Vì 60 chia hết cho 3 (60 : 3 = 20), nên chúng ta có thể nhóm thành 20 nhóm mà không bị lẻ số hạng nào.

Bây giờ, chúng ta xét giá trị của mỗi nhóm:

Nhóm thứ nhất: \(2 + 2^2 + 2^3 = 2 + 4 + 8 = 14\). Rõ ràng 14 chia hết cho 7.

Nhóm thứ hai: \(2^4 + 2^5 + 2^6\). Chúng ta có thể đặt \(2^3\) làm thừa số chung:

\(2^4 + 2^5 + 2^6 = 2^3 \cdot (2^1 + 2^2 + 2^3) = 2^3 \cdot (2 + 4 + 8) = 2^3 \cdot 14\).
Số này cũng chia hết cho 7 vì có thừa số 14.

Các nhóm tiếp theo cũng tương tự. Mỗi nhóm đều có dạng \(2^k \cdot (2 + 2^2 + 2^3) = 2^k \cdot 14\). Tất cả chúng đều chia hết cho 7.

Vì tổng B là tổng của các số hạng mà mỗi số hạng đều chia hết cho 7, nên tổng B cũng chia hết cho 7.

Vậy, \(B = 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{60}\) chia hết cho 7. (Điều phải chứng minh)

C) Chứng minh \(C = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^8\) chia hết cho 30

Để chứng minh một số chia hết cho 30, chúng ta cần chứng minh số đó chia hết cho 5 và chia hết cho 6. (Vì 5 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau, và \(5 \times 6 = 30\)).

Bước 1: Chứng minh C chia hết cho 5

Chúng ta thấy rằng mỗi số hạng của tổng C là \(5, 5^2, 5^3, \dots, 5^8\).
Tất cả các số hạng này đều có chứa thừa số 5 (hoặc là 5, hoặc là bội của 5).
Ví dụ: \(5^2 = 5 \times 5\), \(5^3 = 5 \times 5^2\), v.v.
Khi tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho một số, thì tổng đó cũng chia hết cho số đó.
Vậy, C chia hết cho 5.

Bước 2: Chứng minh C chia hết cho 6

Để C chia hết cho 6, chúng ta cần chứng minh C chia hết cho 2 và C chia hết cho 3. (Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, và \(2 \times 3 = 6\)).

2a) Chứng minh C chia hết cho 2

Các số hạng của tổng C là \(5, 5^2=25, 5^3=125, \dots\). Các em có nhận xét gì về chữ số tận cùng của các số này không?
Tất cả các lũy thừa của 5 (với số mũ lớn hơn hoặc bằng 1) đều có chữ số tận cùng là 5. Mà các số có chữ số tận cùng là 5 thì đều là số lẻ.
Tổng C là tổng của 8 số hạng, và tất cả 8 số hạng này đều là số lẻ.
Tổng của một số chẵn các số lẻ sẽ là một số chẵn. (Ví dụ: lẻ + lẻ = chẵn, lẻ + lẻ + lẻ + lẻ = chẵn, v.v.)
Vì C là tổng của 8 (là số chẵn) số lẻ, nên C là một số chẵn.
Vậy, C chia hết cho 2.

2b) Chứng minh C chia hết cho 3

Giờ chúng ta lại dùng phương pháp nhóm các số hạng. Chúng ta cần tìm một nhóm có tổng chia hết cho 3.

Quan sát các số hạng đầu tiên:

\(5^1 = 5\)

\(5^2 = 25\)

Tổng của hai số hạng này là: \(5 + 25 = 30\).
À, 30 chia hết cho 3! Rất tốt!

Vậy, chúng ta sẽ nhóm các số hạng của tổng C thành từng cặp hai số hạng:

\(C = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + (5^5 + 5^6) + (5^7 + 5^8)\)

Tổng C có tất cả 8 số hạng (từ \(5^1\) đến \(5^8\)).
Vì 8 chia hết cho 2 (8 : 2 = 4), nên chúng ta có thể nhóm thành 4 nhóm mà không bị lẻ số hạng nào.

Bây giờ, chúng ta xét giá trị của mỗi nhóm:

Nhóm thứ nhất: \(5 + 5^2 = 5 + 25 = 30\). Rõ ràng 30 chia hết cho 3.

Nhóm thứ hai: \(5^3 + 5^4\). Chúng ta có thể đặt \(5^2\) làm thừa số chung:

\(5^3 + 5^4 = 5^2 \cdot (5^1 + 5^2) = 5^2 \cdot (5 + 25) = 5^2 \cdot 30\).
Số này cũng chia hết cho 3 vì có thừa số 30 (mà 30 chia hết cho 3).

Các nhóm tiếp theo cũng tương tự. Mỗi nhóm đều có dạng \(5^k \cdot (5 + 5^2) = 5^k \cdot 30\). Tất cả chúng đều chia hết cho 3.

Vì tổng C là tổng của các số hạng mà mỗi số hạng đều chia hết cho 3, nên tổng C cũng chia hết cho 3.

Tổng kết cho phần C:

Chúng ta đã chứng minh được:

• C chia hết cho 5 (từ Bước 1)
• C chia hết cho 2 (từ Bước 2a)
• C chia hết cho 3 (từ Bước 2b)

Vì C chia hết cho 5, cho 2 và cho 3. Mà 5, 2, 3 là các số nguyên tố cùng nhau đôi một, nên C sẽ chia hết cho tích của chúng: \(5 \times 2 \times 3 = 30\).

Vậy, \(C = 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^8\) chia hết cho 30. (Điều phải chứng minh)

D) Chứng minh \(10^{28} + 8\) chia hết cho 72.

Để chứng minh một số chia hết cho 72, chúng ta cần chứng minh số đó chia hết cho 8 và chia hết cho 9. (Vì 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau, và \(8 \times 9 = 72\)).

Bước 1: Chứng minh \(10^{28} + 8\) chia hết cho 8

Chúng ta biết rằng một số chia hết cho 8 nếu ba chữ số cuối cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 8.

Xét số \(10^{28}\). Số này là số 1 và theo sau là 28 chữ số 0.
\(10^{28} = 1\underbrace{00\dots0}_{28 \text{ chữ số 0}}\)

Vì \(28 \ge 3\), nên \(10^{28}\) có ít nhất ba chữ số 0 ở cuối. Ba chữ số cuối cùng của \(10^{28}\) là 000, tạo thành số 0.
Số 0 chia hết cho 8, vậy \(10^{28}\) chia hết cho 8.

Bây giờ, chúng ta xét tổng \(10^{28} + 8\).
Vì \(10^{28}\) chia hết cho 8 và 8 cũng chia hết cho 8, nên tổng của chúng (\(10^{28} + 8\)) sẽ chia hết cho 8.

Vậy, \(10^{28} + 8\) chia hết cho 8.

Bước 2: Chứng minh \(10^{28} + 8\) chia hết cho 9

Chúng ta biết rằng một số chia hết cho 9 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

Xét số \(10^{28}\). Số này là 1 và theo sau là 28 chữ số 0.
Tổng các chữ số của \(10^{28}\) là \(1 + 0 + 0 + \dots + 0 = 1\).

Bây giờ, chúng ta xét số \(10^{28} + 8\).
Số này có dạng: \(1\underbrace{00\dots0}_{28 \text{ chữ số 0}} + 8 = 1\underbrace{00\dots0}_{27 \text{ chữ số 0}}8\)

Ví dụ: \(10^3 + 8 = 1000 + 8 = 1008\). Tổng các chữ số là \(1+0+0+8 = 9\).

Trong trường hợp \(10^{28} + 8\), tổng các chữ số của nó là \(1 + \underbrace{0 + 0 + \dots + 0}_{27 \text{ chữ số 0}} + 8\).
Tổng các chữ số này bằng \(1 + 8 = 9\).

Vì tổng các chữ số của số \(10^{28} + 8\) là 9, mà 9 chia hết cho 9, nên số \(10^{28} + 8\) chia hết cho 9.

Tổng kết cho phần D:

Chúng ta đã chứng minh được:

• \(10^{28} + 8\) chia hết cho 8 (từ Bước 1)
• \(10^{28} + 8\) chia hết cho 9 (từ Bước 2)

Vì \(10^{28} + 8\) chia hết cho 8 và cho 9. Mà 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(10^{28} + 8\) sẽ chia hết cho tích của chúng: \(8 \times 9 = 72\).

Vậy, \(10^{28} + 8\) chia hết cho 72. (Điều phải chứng minh)

Các em thấy không, các bài toán chứng minh chia hết này đều có những phương pháp giải nhất định. Điều quan trọng là chúng ta phải biết cách quan sát, nhóm các số hạng một cách hợp lý và vận dụng các dấu hiệu chia hết mà chúng ta đã học. Cô/thầy hy vọng các em đã hiểu bài và có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự nhé!