Chào các em học sinh lớp 12! Hôm nay, cô sẽ cùng các em giải một bài toán rất thú vị về hàm số mũ và tính đơn điệu. Bài toán này có hai phần, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết nhé.

Phần a) Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = e^x – x – 1\) đồng biến trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \)

Để chứng minh một hàm số đồng biến trên một khoảng hoặc nửa khoảng, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm của hàm số đó trên khoảng hoặc nửa khoảng đó.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \(f(x)\).

Hàm số đã cho là \(f(x) = e^x – x – 1\).

Chúng ta sẽ tính đạo hàm của từng thành phần:

• Đạo hàm của \(e^x\) là \(e^x\).
• Đạo hàm của \(-x\) là \(-1\).
• Đạo hàm của \(-1\) là \(0\).

Vậy, đạo hàm của hàm số \(f(x)\) là:

\(f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x – x – 1) = e^x – 1\)

Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \(f'(x)\) trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \).

Chúng ta cần xem xét \(f'(x) \ge 0\) trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \).

Ta có \(f'(x) = e^x – 1\).

Xét trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \), tức là với mọi \(x \ge 0\).

Chúng ta biết rằng hàm số mũ \(y = e^x\) là một hàm đồng biến, và giá trị của nó tại \(x=0\) là \(e^0 = 1\).

Do đó, với mọi \(x \ge 0\), ta có \(e^x \ge e^0\), tức là \(e^x \ge 1\).

Từ \(e^x \ge 1\), ta suy ra \(e^x – 1 \ge 0\).

Vậy, \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in [0; +\infty)\).

Bước 3: Kết luận về tính đồng biến của hàm số.

Vì đạo hàm \(f'(x) \ge 0\) với mọi \(x \in [0; +\infty)\) và dấu “=” chỉ xảy ra tại một điểm (x=0), nên hàm số \(f(x) = e^x – x – 1\) đồng biến trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \).

Điều này có nghĩa là với mọi \(x_1, x_2\) thuộc \( [0; +\infty) \) sao cho \(x_1 < x_2\), thì \(f(x_1) < f(x_2)\).

Phần b) Từ đó suy ra \(e^x > x + 1\) với mọi \(x > 0\).

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng kết quả từ phần a) để chứng minh bất đẳng thức.

Bước 1: Liên hệ với kết quả phần a).

Ở phần a), chúng ta đã chứng minh rằng hàm số \(f(x) = e^x – x – 1\) đồng biến trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \).

Điều này có nghĩa là với mọi \(x \in [0; +\infty)\), giá trị của hàm số \(f(x)\) sẽ lớn hơn hoặc bằng giá trị của nó tại điểm bắt đầu của nửa khoảng đó, tức là tại \(x=0\). Tuy nhiên, để suy ra bất đẳng thức \(e^x > x + 1\), chúng ta cần xét đến dấu “<" trong định nghĩa đồng biến, hoặc xem xét giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Cách tiếp cận hiệu quả hơn là xem xét giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên nửa khoảng \( [0; +\infty) \).

Vì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \( [0; +\infty) \), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ đạt được tại điểm đầu mút của nửa khoảng, tức là tại \(x = 0\).

Bước 2: Tính giá trị của \(f(x)\) tại \(x = 0\).

Ta có \(f(0) = e^0 – 0 – 1 = 1 – 0 – 1 = 0\).

Bước 3: Suy ra bất đẳng thức.

Vì \(f(x)\) đồng biến trên \( [0; +\infty) \) và giá trị nhỏ nhất của nó là \(f(0) = 0\), nên với mọi \(x \in [0; +\infty)\), ta có \(f(x) \ge f(0)\), tức là \(f(x) \ge 0\).

Thay biểu thức của \(f(x)\) vào, ta có:

\(e^x – x – 1 \ge 0\) với mọi \(x \in [0; +\infty)\).

Hay

\(e^x \ge x + 1\) với mọi \(x \in [0; +\infty)\).

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh dấu “>” thay vì “>=”. Dấu “=” xảy ra khi nào?

Dấu “=” trong \(e^x \ge x + 1\) xảy ra khi \(f(x) = 0\), tức là khi \(x=0\).

Đề bài yêu cầu chứng minh \(e^x > x + 1\) với mọi \(x > 0\).

Vì \(f(x)\) đồng biến trên \( [0; +\infty) \) và \(f(0) = 0\), nên với mọi \(x > 0\), ta có \(x\) lớn hơn \(0\). Do tính đồng biến, giá trị của \(f(x)\) sẽ lớn hơn giá trị tại \(x=0\).

Cụ thể, với mọi \(x > 0\), ta có \(x \in (0; +\infty)\). Vì \(f\) đồng biến trên \( [0; +\infty) \), nên với \(x > 0\), ta có \(f(x) > f(0)\).

Vì \(f(0) = 0\), nên với mọi \(x > 0\), ta có \(f(x) > 0\).

Thay biểu thức của \(f(x)\) vào:

\(e^x – x – 1 > 0\) với mọi \(x > 0\).

Chuyển vế \(-x – 1\) sang bên phải, ta được:

\(e^x > x + 1\) với mọi \(x > 0\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức này một cách chặt chẽ.

Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết như trên, các em đã hiểu rõ bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!