Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình. Các em hãy chú ý lắng nghe và ghi chép bài nhé!

Bài tập:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \( \frac{5-3x}{3x} + \frac{x}{x+2} = 0 \)

b) \( \left \{ \begin{array}{l} 2x+3=3y-2 \\ 3(3y+2)-4(x+2y)=3 \end{array} \right. \)

c) Giải bất phương trình: \( \frac{2x+1}{3} – \frac{x-2}{4} \geq – \frac{1-x}{6} \)

Giải chi tiết:

Câu a)

Chúng ta có phương trình: \( \frac{5-3x}{3x} + \frac{x}{x+2} = 0 \)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Để các phân thức có nghĩa, mẫu số phải khác 0:

\( 3x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \)

\( x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)

Vậy điều kiện xác định là \( x \neq 0 \) và \( x \neq -2 \).

Bước 2: Quy đồng mẫu số và giải phương trình.

Mẫu số chung nhỏ nhất của 3x và x+2 là \( 3x(x+2) \).

Ta quy đồng các phân thức:

\( \frac{(5-3x)(x+2)}{3x(x+2)} + \frac{x(3x)}{3x(x+2)} = 0 \)

\( \frac{(5-3x)(x+2) + 3x^2}{3x(x+2)} = 0 \)

Do mẫu số \( 3x(x+2) \neq 0 \), nên để phân thức bằng 0, tử số phải bằng 0:

\( (5-3x)(x+2) + 3x^2 = 0 \)

Khai triển và rút gọn:

\( 5x + 10 – 3x^2 – 6x + 3x^2 = 0 \)

\( -x + 10 = 0 \)

\( x = 10 \)

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định.

Giá trị \( x = 10 \) thỏa mãn điều kiện xác định \( x \neq 0 \) và \( x \neq -2 \).

Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 10 \).

Câu b)

Chúng ta có hệ phương trình:

\( \left \{ \begin{array}{l} 2x+3=3y-2 \quad (1) \\ 3(3y+2)-4(x+2y)=3 \quad (2) \end{array} \right. \)

Bước 1: Rút gọn và đưa các phương trình về dạng chuẩn \( ax + by = c \).

Từ phương trình (1):

\( 2x – 3y = -2 – 3 \)

\( 2x – 3y = -5 \quad (1′) \)

Từ phương trình (2):

\( 9y + 6 – 4x – 8y = 3 \)

\( -4x + y = 3 – 6 \)

\( -4x + y = -3 \quad (2′) \)

Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Nhân phương trình (1′) với 2 để hệ số của x ở hai phương trình đối nhau:

\( 2(2x – 3y) = 2(-5) \)

\( 4x – 6y = -10 \quad (1”) \)

Cộng phương trình (1”) và (2′):

\( (4x – 6y) + (-4x + y) = -10 + (-3) \)

\( 4x – 6y – 4x + y = -13 \)

\( -5y = -13 \)

\( y = \frac{-13}{-5} = \frac{13}{5} \)

Bước 3: Tìm giá trị của biến còn lại.

Thế giá trị \( y = \frac{13}{5} \) vào phương trình (1′):

\( 2x – 3(\frac{13}{5}) = -5 \)

\( 2x – \frac{39}{5} = -5 \)

\( 2x = -5 + \frac{39}{5} \)

\( 2x = \frac{-25 + 39}{5} \)

\( 2x = \frac{14}{5} \)

\( x = \frac{14}{5} \times \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{7}{5} \)

Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (\frac{7}{5}, \frac{13}{5}) \).

Câu c)

Chúng ta cần giải bất phương trình: \( \frac{2x+1}{3} – \frac{x-2}{4} \geq – \frac{1-x}{6} \)

Bước 1: Tìm mẫu số chung và quy đồng.

Mẫu số chung nhỏ nhất của 3, 4, và 6 là 12.

Nhân cả hai vế của bất phương trình với 12 (là một số dương nên chiều của bất đẳng thức không đổi):

\( 12 \times (\frac{2x+1}{3}) – 12 \times (\frac{x-2}{4}) \geq 12 \times (- \frac{1-x}{6}) \)

\( 4(2x+1) – 3(x-2) \geq -2(1-x) \)

Bước 2: Khai triển và rút gọn bất phương trình.

\( 8x + 4 – 3x + 6 \geq -2 + 2x \)

\( 5x + 10 \geq -2 + 2x \)

Bước 3: Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hạng tử tự do về vế còn lại.

\( 5x – 2x \geq -2 – 10 \)

\( 3x \geq -12 \)

Bước 4: Tìm nghiệm của bất phương trình.

Chia cả hai vế cho 3 (là một số dương nên chiều của bất đẳng thức không đổi):

\( x \geq \frac{-12}{3} \)

\( x \geq -4 \)

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là \( \{ x \mid x \geq -4 \} \), hoặc có thể viết là \( [-4, +\infty) \).

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé. Hẹn gặp lại các em trong buổi học tới!