Chào các em học sinh lớp 7! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một số bài tập về lũy thừa, một chủ đề rất quan trọng trong chương trình Toán học của chúng ta. Các em hãy tập trung theo dõi nhé!

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài tập này.

a/ Tính: \( \frac{8^{10}}{4^{8}} \)

Để giải quyết bài toán này, các em cần nhớ rằng chúng ta có thể viết các cơ số khác nhau dưới dạng lũy thừa của cùng một cơ số. Ở đây, ta thấy 8 và 4 đều có thể viết dưới dạng lũy thừa của 2.

Ta có: \( 8 = 2^3 \) và \( 4 = 2^2 \).

Thay vào biểu thức ban đầu:

\( \frac{8^{10}}{4^{8}} = \frac{(2^3)^{10}}{(2^2)^{8}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \( (a^m)^n = a^{m \times n} \), ta được:

\( \frac{2^{3 \times 10}}{2^{2 \times 8}} = \frac{2^{30}}{2^{16}} \)

Cuối cùng, áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), ta có:

\( 2^{30 – 16} = 2^{14} \)

Vậy, \( \frac{8^{10}}{4^{8}} = 2^{14} \).

b/ Tính: \( \frac{4^{2} \times 4^{3}}{2^{10}} \)

Tương tự như phần a, chúng ta sẽ đưa về cùng một cơ số. Cơ số 4 có thể viết thành \( 2^2 \).

Ta có:

\( \frac{4^{2} \times 4^{3}}{2^{10}} = \frac{(2^2)^{2} \times (2^2)^{3}}{2^{10}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:

\( \frac{2^{2 \times 2} \times 2^{2 \times 3}}{2^{10}} = \frac{2^{4} \times 2^{6}}{2^{10}} \)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) ở tử số:

\( \frac{2^{4+6}}{2^{10}} = \frac{2^{10}}{2^{10}} \)

Cuối cùng, ta có:

\( 2^{10 – 10} = 2^0 = 1 \)

Vậy, \( \frac{4^{2} \times 4^{3}}{2^{10}} = 1 \).

c/ Tính: \( \frac{8^{2} \times 4^{5}}{2^{20}} \)

Chúng ta lại tiếp tục đưa về cơ số 2.

Ta có: \( 8 = 2^3 \) và \( 4 = 2^2 \).

\( \frac{8^{2} \times 4^{5}}{2^{20}} = \frac{(2^3)^{2} \times (2^2)^{5}}{2^{20}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:

\( \frac{2^{3 \times 2} \times 2^{2 \times 5}}{2^{20}} = \frac{2^{6} \times 2^{10}}{2^{20}} \)

Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

\( \frac{2^{6+10}}{2^{20}} = \frac{2^{16}}{2^{20}} \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\( 2^{16 – 20} = 2^{-4} \)

Các em có thể viết kết quả dưới dạng \( \frac{1}{2^4} \) hoặc giữ nguyên là \( 2^{-4} \).

Vậy, \( \frac{8^{2} \times 4^{5}}{2^{20}} = 2^{-4} \).

d/ Tính: \( \frac{27^{4} \times 4^{3}}{9^{5} \times 8^{2}} \)

Trong bài này, chúng ta có các cơ số 27, 4, 9, 8. Chúng ta sẽ đưa chúng về các cơ số nguyên tố là 2 và 3.

Ta có: \( 27 = 3^3 \), \( 4 = 2^2 \), \( 9 = 3^2 \), \( 8 = 2^3 \).

Thay vào biểu thức:

\( \frac{(3^3)^{4} \times (2^2)^{3}}{(3^2)^{5} \times (2^3)^{2}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:

\( \frac{3^{3 \times 4} \times 2^{2 \times 3}}{3^{2 \times 5} \times 2^{3 \times 2}} = \frac{3^{12} \times 2^{6}}{3^{10} \times 2^{6}} \)

Bây giờ, chúng ta nhóm các lũy thừa cùng cơ số lại với nhau:

\( \left( \frac{3^{12}}{3^{10}} \right) \times \left( \frac{2^{6}}{2^{6}} \right) \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\( 3^{12 – 10} \times 2^{6 – 6} = 3^2 \times 2^0 \)

Vì \( 2^0 = 1 \), ta có:

\( 3^2 \times 1 = 9 \)

Vậy, \( \frac{27^{4} \times 4^{3}}{9^{5} \times 8^{2}} = 9 \).

e/ Tính: \( \frac{3^{29} \times 4^{16}}{27^{9} \times 8^{11}} \)

Tiếp tục đưa về các cơ số nguyên tố là 3 và 2.

Ta có: \( 4 = 2^2 \), \( 27 = 3^3 \), \( 8 = 2^3 \).

\( \frac{3^{29} \times (2^2)^{16}}{(3^3)^{9} \times (2^3)^{11}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:

\( \frac{3^{29} \times 2^{2 \times 16}}{3^{3 \times 9} \times 2^{3 \times 11}} = \frac{3^{29} \times 2^{32}}{3^{27} \times 2^{33}} \)

Nhóm các lũy thừa cùng cơ số:

\( \left( \frac{3^{29}}{3^{27}} \right) \times \left( \frac{2^{32}}{2^{33}} \right) \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\( 3^{29 – 27} \times 2^{32 – 33} = 3^2 \times 2^{-1} \)

Ta có thể viết kết quả dưới dạng \( 9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \).

Vậy, \( \frac{3^{29} \times 4^{16}}{27^{9} \times 8^{11}} = \frac{9}{2} \).

f/ Tính: \( \frac{4^{20} \times 3^{35}}{2^{37} \times 27^{12}} \)

Chúng ta sẽ đưa về các cơ số nguyên tố 2 và 3.

Ta có: \( 4 = 2^2 \), \( 27 = 3^3 \).

\( \frac{(2^2)^{20} \times 3^{35}}{2^{37} \times (3^3)^{12}} \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa:

\( \frac{2^{2 \times 20} \times 3^{35}}{2^{37} \times 3^{3 \times 12}} = \frac{2^{40} \times 3^{35}}{2^{37} \times 3^{36}} \)

Nhóm các lũy thừa cùng cơ số:

\( \left( \frac{2^{40}}{2^{37}} \right) \times \left( \frac{3^{35}}{3^{36}} \right) \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

\( 2^{40 – 37} \times 3^{35 – 36} = 2^3 \times 3^{-1} \)

Ta có thể viết kết quả dưới dạng \( 8 \times \frac{1}{3} = \frac{8}{3} \).

Vậy, \( \frac{4^{20} \times 3^{35}}{2^{37} \times 27^{12}} = \frac{8}{3} \).

Các em thân mến, các bài tập về lũy thừa này đòi hỏi sự cẩn thận trong việc áp dụng các quy tắc. Hãy nhớ rằng, chìa khóa để giải quyết những bài toán này là đưa các cơ số về cùng một cơ số nguyên tố, sau đó áp dụng các quy tắc nhân, chia lũy thừa. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!

Chúc các em học tốt!