Bài toán a: Xe máy đi từ tỉnh A đến tỉnh B

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và đại lượng cần tìm trong bài toán.

Cho biết:

• Quãng đường từ tỉnh A đến tỉnh B: \( s = 100 \) km
• Vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là \( 10 \) km/h.
• Thời gian về ít hơn thời gian đi là \( 30 \) phút.

Yêu cầu: Tính vận tốc lúc đi của xe máy.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian: \( s = v \times t \), suy ra \( t = \frac{s}{v} \).

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng

Gọi vận tốc lúc đi của xe máy là \( v \) (km/h). Điều kiện: \( v > 0 \).

Vậy, vận tốc lúc về của xe máy là \( v + 10 \) (km/h).

Thời gian lúc đi từ tỉnh A đến tỉnh B là: \( t_{đi} = \frac{s}{v} = \frac{100}{v} \) (giờ).

Thời gian lúc về từ tỉnh B đến tỉnh A là: \( t_{về} = \frac{s}{v+10} = \frac{100}{v+10} \) (giờ).

Bước 2: Chuyển đổi đơn vị thời gian

Đề bài cho thời gian về ít hơn thời gian đi là \( 30 \) phút. Chúng ta cần đổi \( 30 \) phút ra giờ: \( 30 \) phút = \( \frac{30}{60} \) giờ = \( \frac{1}{2} \) giờ.

Bước 3: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ thời gian

Theo đề bài, thời gian về ít hơn thời gian đi là \( \frac{1}{2} \) giờ, nên ta có phương trình:

\( t_{đi} – t_{về} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{100}{v} – \frac{100}{v+10} = \frac{1}{2} \)

Bước 4: Giải phương trình

Quy đồng mẫu số:

\( \frac{100(v+10) – 100v}{v(v+10)} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{100v + 1000 – 100v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{2} \)

\( \frac{1000}{v^2 + 10v} = \frac{1}{2} \)

Nhân chéo:

\( 1000 \times 2 = 1 \times (v^2 + 10v) \)

\( 2000 = v^2 + 10v \)

Chuyển về phương trình bậc hai:

\( v^2 + 10v – 2000 = 0 \)

Chúng ta có thể giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Ở đây, thầy sẽ dùng công thức nghiệm:

\( \Delta = b^2 – 4ac = 10^2 – 4(1)(-2000) = 100 + 8000 = 8100 \)

\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{8100} = 90 \)

Nghiệm của phương trình là:

\( v_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + 90}{2 \times 1} = \frac{80}{2} = 40 \)

\( v_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 – 90}{2 \times 1} = \frac{-100}{2} = -50 \)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Vì vận tốc không thể âm, nên ta loại nghiệm \( v_2 = -50 \).

Ta nhận nghiệm \( v_1 = 40 \). Điều kiện \( v > 0 \) được thỏa mãn.

Vậy, vận tốc lúc đi của xe máy là 40 km/h.

Bài toán b: Hai bạn Xuân và Yến hẹn nhau

Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích bài toán này.

Cho biết:

• Địa điểm hẹn cách vị trí bạn Xuân \( 9 \) km.
• Địa điểm hẹn cách vị trí bạn Yến \( 12 \) km.
• Hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm hẹn cùng một lúc.
• Vận tốc bạn Yến hơn vận tốc bạn Xuân là \( 4 \) km/h.

Yêu cầu: Tính tốc độ của mỗi bạn.

Tương tự bài toán trên, chúng ta vẫn sử dụng công thức \( s = v \times t \).

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn các đại lượng

Gọi tốc độ lúc đi của bạn Xuân là \( v_X \) (km/h). Điều kiện: \( v_X > 0 \).

Vì tốc độ bạn Yến hơn tốc độ bạn Xuân là \( 4 \) km/h, nên tốc độ lúc đi của bạn Yến là \( v_Y = v_X + 4 \) (km/h).

Quãng đường bạn Xuân đi là \( s_X = 9 \) km.

Quãng đường bạn Yến đi là \( s_Y = 12 \) km.

Thời gian bạn Xuân đi đến địa điểm hẹn là: \( t_X = \frac{s_X}{v_X} = \frac{9}{v_X} \) (giờ).

Thời gian bạn Yến đi đến địa điểm hẹn là: \( t_Y = \frac{s_Y}{v_Y} = \frac{12}{v_X + 4} \) (giờ).

Bước 2: Lập phương trình dựa trên mối quan hệ thời gian

Vì hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm hẹn cùng một lúc, nên thời gian của hai bạn là bằng nhau:

\( t_X = t_Y \)

\( \frac{9}{v_X} = \frac{12}{v_X + 4} \)

Bước 3: Giải phương trình

Nhân chéo:

\( 9(v_X + 4) = 12v_X \)

\( 9v_X + 36 = 12v_X \)

\( 36 = 12v_X – 9v_X \)

\( 36 = 3v_X \)

\( v_X = \frac{36}{3} \)

\( v_X = 12 \)

Bước 4: Tính tốc độ của bạn Yến và kết luận

Tốc độ của bạn Xuân là \( v_X = 12 \) km/h.

Tốc độ của bạn Yến là \( v_Y = v_X + 4 = 12 + 4 = 16 \) km/h.

Điều kiện \( v_X > 0 \) được thỏa mãn.

Vậy, tốc độ của bạn Xuân là 12 km/h và tốc độ của bạn Yến là 16 km/h.

Các em có thắc mắc gì về các bước giải không? Hãy cứ hỏi thầy nhé!