Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán liên quan đến phương trình lượng giác. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài toán 1:

a) Phương trình \(sin 2x = cos x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \((0;π)\)?

Giải:

Để giải phương trình \(sin 2x = cos x\), chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác để đưa về cùng một loại hàm số. Ta biết công thức góc đôi cho sin là \(sin 2x = 2 sin x cos x\).

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

\(2 sin x cos x = cos x\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về phương trình tích:

\(2 sin x cos x – cos x = 0\)

Đặt nhân tử chung \(cos x\) ra ngoài:

\(cos x (2 sin x – 1) = 0\)

Phương trình này sẽ có nghiệm khi một trong hai thừa số bằng 0:

Trường hợp 1: \(cos x = 0\)

Nghiệm của \(cos x = 0\) là \(x = \frac{π}{2} + kπ\), với \(k\) là số nguyên.

Ta cần tìm các nghiệm thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = 0\), ta có \(x = \frac{π}{2}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = 1\), ta có \(x = \frac{π}{2} + π = \frac{3π}{2}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = -1\), ta có \(x = \frac{π}{2} – π = -\frac{π}{2}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Vậy, từ trường hợp này, ta có 1 nghiệm là \(x = \frac{π}{2}\).

Trường hợp 2: \(2 sin x – 1 = 0\)

Suy ra \(sin x = \frac{1}{2}\).

Nghiệm của \(sin x = \frac{1}{2}\) là:

\(x = \frac{π}{6} + k2π\) hoặc \(x = π – \frac{π}{6} + k2π = \frac{5π}{6} + k2π\), với \(k\) là số nguyên.

Ta cần tìm các nghiệm thuộc khoảng \((0;π)\).

Xét \(x = \frac{π}{6} + k2π\):

Nếu \(k = 0\), ta có \(x = \frac{π}{6}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = 1\), ta có \(x = \frac{π}{6} + 2π = \frac{13π}{6}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = -1\), ta có \(x = \frac{π}{6} – 2π = -\frac{11π}{6}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Xét \(x = \frac{5π}{6} + k2π\):

Nếu \(k = 0\), ta có \(x = \frac{5π}{6}\). Giá trị này thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = 1\), ta có \(x = \frac{5π}{6} + 2π = \frac{17π}{6}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Nếu \(k = -1\), ta có \(x = \frac{5π}{6} – 2π = -\frac{7π}{6}\), không thuộc khoảng \((0;π)\).

Vậy, từ trường hợp này, ta có 2 nghiệm là \(x = \frac{π}{6}\) và \(x = \frac{5π}{6}\).

Kết hợp cả hai trường hợp, các nghiệm của phương trình \(sin 2x = cos x\) trong khoảng \((0;π)\) là \(x = \frac{π}{2}\), \(x = \frac{π}{6}\), và \(x = \frac{5π}{6}\).

Do đó, phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng \((0;π)\).

Bài toán 2:

b) Số nghiệm của phương trình \(cos(x+\frac{π}{6})=-cos2x\)   trong khoảng \((0;2)\) là bao nhiêu?.

Giải:

Để giải phương trình \(cos(x+\frac{π}{6})=-cos2x\), chúng ta có thể sử dụng tính chất của hàm cos: \(-\cos A = \cos(\pi – A)\) hoặc \(-\cos A = \cos(\pi + A)\).

Chúng ta sẽ chọn cách biến đổi \(-\cos 2x\) thành một biểu thức có dạng \(cos(\dots)\) để có thể đặt hai trường hợp bằng nhau:

\(cos(x+\frac{π}{6}) = cos(\pi – 2x)\) (Chúng ta có thể chọn \(cos(\pi + 2x)\) cũng được, kết quả cuối cùng sẽ tương đương).

Phương trình này sẽ có nghiệm khi:

Trường hợp 1: \(x+\frac{π}{6} = \pi – 2x + k2π\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và hằng số về vế còn lại:

\(x + 2x = \pi – \frac{π}{6} + k2π\)

\(3x = \frac{5π}{6} + k2π\)

\(x = \frac{5π}{18} + \frac{k2π}{3}\)

Chúng ta cần tìm các nghiệm thuộc khoảng \((0;2)\). Lưu ý rằng \(π \approx 3.14\), do đó \(2\) radian là một khoảng giá trị khá nhỏ.

Ta sẽ ước lượng giá trị của \(π/18\) và \(2π/3\).

\(π/18 \approx 3.14 / 18 \approx 0.174\)

\(2π/3 \approx 2 \times 3.14 / 3 \approx 2.093\)

Nếu \(k = 0\): \(x = \frac{5π}{18} \approx 5 \times 0.174 = 0.87\). Giá trị này thuộc khoảng \((0;2)\).

Nếu \(k = 1\): \(x = \frac{5π}{18} + \frac{2π}{3} = \frac{5π + 12π}{18} = \frac{17π}{18} \approx 17 \times 0.174 \approx 2.958\). Giá trị này không thuộc khoảng \((0;2)\).

Nếu \(k = -1\): \(x = \frac{5π}{18} – \frac{2π}{3} = \frac{5π – 12π}{18} = -\frac{7π}{18}\). Giá trị này không thuộc khoảng \((0;2)\).

Vậy, từ trường hợp này, ta có 1 nghiệm là \(x = \frac{5π}{18}\).

Trường hợp 2: \(x+\frac{π}{6} = -(\pi – 2x) + k2π\)

\(x+\frac{π}{6} = -\pi + 2x + k2π\)

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và hằng số về vế còn lại:

\(x – 2x = -\pi – \frac{π}{6} + k2π\)

\(-x = -\frac{7π}{6} + k2π\)

\(x = \frac{7π}{6} – k2π\)

Hoặc viết lại là \(x = \frac{7π}{6} + m2π\) (với \(m = -k\), \(m\) cũng là số nguyên).

Ta cần tìm các nghiệm thuộc khoảng \((0;2)\).

\(7π/6 \approx 7 \times 3.14 / 6 \approx 3.663\)

Nếu \(m = 0\): \(x = \frac{7π}{6} \approx 3.663\). Giá trị này không thuộc khoảng \((0;2)\).

Nếu \(m = -1\): \(x = \frac{7π}{6} – 2π = \frac{7π – 12π}{6} = -\frac{5π}{6}\). Giá trị này không thuộc khoảng \((0;2)\).

Nếu \(m = 1\): \(x = \frac{7π}{6} + 2π = \frac{19π}{6}\). Giá trị này không thuộc khoảng \((0;2)\).

Vậy, từ trường hợp này, không có nghiệm nào thuộc khoảng \((0;2)\).

Kiểm tra lại cách biến đổi \(-\cos 2x = \cos(\pi + 2x)\):

Trường hợp 3: \(x+\frac{π}{6} = \pi + 2x + k2π\)

\(x – 2x = \pi – \frac{π}{6} + k2π\)

\(-x = \frac{5π}{6} + k2π\)

\(x = -\frac{5π}{6} – k2π\)

Hay \(x = -\frac{5π}{6} + m2π\).

Nếu \(m = 1\): \(x = -\frac{5π}{6} + 2π = \frac{-5π + 12π}{6} = \frac{7π}{6}\). Không thuộc khoảng \((0;2)\).

Trường hợp 4: \(x+\frac{π}{6} = -(\pi + 2x) + k2π\)

\(x+\frac{π}{6} = -\pi – 2x + k2π\)

\(x + 2x = -\pi – \frac{π}{6} + k2π\)

\(3x = -\frac{7π}{6} + k2π\)

\(x = -\frac{7π}{18} + \frac{k2π}{3}\)

Nếu \(k = 1\): \(x = -\frac{7π}{18} + \frac{2π}{3} = \frac{-7π + 12π}{18} = \frac{5π}{18}\). Đây là nghiệm ta đã tìm được ở Trường hợp 1.

Nếu \(k = 0\): \(x = -\frac{7π}{18}\). Không thuộc khoảng \((0;2)\).

Nếu \(k = 2\): \(x = -\frac{7π}{18} + \frac{4π}{3} = \frac{-7π + 24π}{18} = \frac{17π}{18}\). Không thuộc khoảng \((0;2)\).

Vậy, sau khi xét các trường hợp, ta thấy chỉ có nghiệm \(x = \frac{5π}{18}\) thuộc khoảng \((0;2)\).

Do đó, số nghiệm của phương trình \(cos(x+\frac{π}{6})=-cos2x\)   trong khoảng \((0;2)\) là 1 nghiệm.

Các em đã hiểu bài chưa nào? Nếu có thắc mắc gì, hãy mạnh dạn hỏi thầy nhé!