Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui khi được cùng các em khám phá thế giới của đa thức qua hai bài toán thú vị sau. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích từng bước một để tìm ra lời giải nhé!

Bài toán:

a) Tìm tất cả P(x) thỏa mãn \(x \cdot P(x-1) = (x-2014) \cdot P(x)\) với mọi \(x\) là số thực?

b) Giả sử P(x) là một đa thức thỏa mãn \(x \cdot P(x-1) = (x-5) \cdot P(x)\) với mọi số thực \(x\) và \(P(-1) = 1\). Tìm giá trị của \(P(1/2)\)?

Chúng ta cùng bắt đầu với phần a) nhé!

Giải bài toán:

a) Tìm tất cả P(x) thỏa mãn \(x \cdot P(x-1) = (x-2014) \cdot P(x)\) với mọi \(x\) là số thực.

Phương trình đã cho là: \(x \cdot P(x-1) = (x-2014) \cdot P(x)\) (1)

Để tìm dạng của đa thức \(P(x)\), chúng ta sẽ thử thay các giá trị đặc biệt của \(x\) vào phương trình (1).

Bước 1: Tìm các nghiệm của \(P(x)\).

• Thay \(x=0\) vào (1):
  \(0 \cdot P(0-1) = (0-2014) \cdot P(0)\)
  \(0 = -2014 \cdot P(0)\)
  Điều này suy ra \(P(0) = 0\). Vậy, \(x\) là một nhân tử của \(P(x)\).
• Thay \(x=1\) vào (1):
  \(1 \cdot P(1-1) = (1-2014) \cdot P(1)\)
  \(1 \cdot P(0) = -2013 \cdot P(1)\)
  Vì \(P(0)=0\) (từ trên), nên \(1 \cdot 0 = -2013 \cdot P(1)\)
  \(0 = -2013 \cdot P(1)\)
  Điều này suy ra \(P(1) = 0\). Vậy, \((x-1)\) là một nhân tử của \(P(x)\).
• Thay \(x=2\) vào (1):
  \(2 \cdot P(2-1) = (2-2014) \cdot P(2)\)
  \(2 \cdot P(1) = -2012 \cdot P(2)\)
  Vì \(P(1)=0\), nên \(2 \cdot 0 = -2012 \cdot P(2)\)
  \(0 = -2012 \cdot P(2)\)
  Điều này suy ra \(P(2) = 0\). Vậy, \((x-2)\) là một nhân tử của \(P(x)\).

Chúng ta có thể thấy một quy luật ở đây. Nếu \(P(k-1)=0\), thì khi thay \(x=k\) vào phương trình (1) (với \(k \ne 2014\)), ta sẽ có \(k \cdot P(k-1) = (k-2014) \cdot P(k)\), suy ra \(k \cdot 0 = (k-2014) \cdot P(k)\), tức là \(0 = (k-2014) \cdot P(k)\). Vì \(k \ne 2014\), nên \(P(k)=0\).

Áp dụng quy luật này:
Chúng ta có \(P(0)=0\).
\(\Rightarrow\) Với \(k=1\), \(P(1)=0\).
\(\Rightarrow\) Với \(k=2\), \(P(2)=0\).
…
Chúng ta sẽ tiếp tục cho đến khi \(k=2013\). Vì \(P(2012)=0\), khi thay \(x=2013\):
\(2013 \cdot P(2012) = (2013-2014) \cdot P(2013)\)
\(2013 \cdot 0 = -1 \cdot P(2013)\)
\(0 = -P(2013)\)
Điều này suy ra \(P(2013) = 0\).

Vậy, các giá trị \(0, 1, 2, \dots, 2013\) đều là nghiệm của \(P(x)\). Điều này có nghĩa là \(P(x)\) phải có các nhân tử là \(x, (x-1), (x-2), \dots, (x-2013)\).

Do đó, \(P(x)\) có thể viết dưới dạng:

\(P(x) = Q(x) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \ldots \cdot (x-2013)\)

với \(Q(x)\) là một đa thức nào đó.

Bước 2: Tìm dạng của đa thức \(Q(x)\).

Thay \(P(x)\) vào phương trình (1):
\(x \cdot [Q(x-1) \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \ldots \cdot (x-2014)] = (x-2014) \cdot [Q(x) \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \ldots \cdot (x-2013)]\)

Rút gọn các nhân tử chung (với điều kiện \(x \ne 0, 1, \dots, 2014\)):
\(x \cdot Q(x-1) \cdot (x-1) \cdot \ldots \cdot (x-2014) = x \cdot Q(x) \cdot (x-1) \cdot \ldots \cdot (x-2013) \cdot (x-2014)\)

Chia cả hai vế cho \(x \cdot (x-1) \cdot \ldots \cdot (x-2014)\) (với \(x\) không thuộc tập \(\{0, 1, \dots, 2014\}\)), ta được:
\(Q(x-1) = Q(x)\)

Một đa thức \(Q(x)\) thỏa mãn \(Q(x-1) = Q(x)\) với mọi \(x\) thực chỉ có thể là một đa thức hằng số. (Nếu \(Q(x)\) không phải là hằng số, giả sử bậc của \(Q(x)\) là \(n \ge 1\). Khi đó bậc của \(Q(x-1)\) cũng là \(n\). Tuy nhiên, khi khai triển \(Q(x-1)\), hệ số của \(x^{n-1}\) sẽ khác trong \(Q(x)\), trừ khi \(n=0\)).
Vậy, \(Q(x)\) là một hằng số. Đặt \(Q(x) = C\), với \(C\) là một hằng số thực bất kỳ.

Bước 3: Kết luận.

Vậy, tất cả các đa thức \(P(x)\) thỏa mãn điều kiện đề bài có dạng:

\(P(x) = C \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \ldots \cdot (x-2013)\)

trong đó \(C\) là một hằng số thực bất kỳ.

---

b) Giả sử P(x) là một đa thức thỏa mãn \(x \cdot P(x-1) = (x-5) \cdot P(x)\) với mọi số thực \(x\) và \(P(-1) = 1\). Tìm giá trị của \(P(1/2)\).

Phương trình đã cho là: \(x \cdot P(x-1) = (x-5) \cdot P(x)\) (2)

Bước 1: Tìm dạng tổng quát của \(P(x)\).

Tương tự như phần a), chúng ta sẽ tìm các nghiệm của \(P(x)\) bằng cách thay các giá trị đặc biệt của \(x\):

• Thay \(x=0\) vào (2):
  \(0 \cdot P(-1) = (0-5) \cdot P(0)\)
  \(0 = -5 \cdot P(0)\)
  Suy ra \(P(0) = 0\).
• Thay \(x=1\) vào (2):
  \(1 \cdot P(0) = (1-5) \cdot P(1)\)
  \(1 \cdot 0 = -4 \cdot P(1)\)
  Suy ra \(P(1) = 0\).
• Thay \(x=2\) vào (2):
  \(2 \cdot P(1) = (2-5) \cdot P(2)\)
  \(2 \cdot 0 = -3 \cdot P(2)\)
  Suy ra \(P(2) = 0\).
• Thay \(x=3\) vào (2):
  \(3 \cdot P(2) = (3-5) \cdot P(3)\)
  \(3 \cdot 0 = -2 \cdot P(3)\)
  Suy ra \(P(3) = 0\).
• Thay \(x=4\) vào (2):
  \(4 \cdot P(3) = (4-5) \cdot P(4)\)
  \(4 \cdot 0 = -1 \cdot P(4)\)
  Suy ra \(P(4) = 0\).

Vậy, \(P(x)\) có các nghiệm là \(0, 1, 2, 3, 4\). Điều này có nghĩa là \(P(x)\) phải có các nhân tử là \(x, (x-1), (x-2), (x-3), (x-4)\).

Khi thay \(x=5\) vào (2):
\(5 \cdot P(4) = (5-5) \cdot P(5)\)
\(5 \cdot 0 = 0 \cdot P(5)\)
\(0 = 0\)
Phương trình này luôn đúng và không cho ta thông tin gì về \(P(5)\), nghĩa là \(P(5)\) có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Tương tự như phần a), chúng ta có thể viết \(P(x)\) dưới dạng:
\(P(x) = C \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)\)
trong đó \(C\) là một hằng số thực.

Bước 2: Sử dụng điều kiện \(P(-1) = 1\) để tìm hằng số \(C\).

Chúng ta có: \(P(x) = C \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)\)
Thay \(x=-1\) vào biểu thức của \(P(x)\):
\(P(-1) = C \cdot (-1) \cdot (-1-1) \cdot (-1-2) \cdot (-1-3) \cdot (-1-4)\)
\(P(-1) = C \cdot (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \cdot (-5)\)
\(P(-1) = C \cdot (-(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5))\)
\(P(-1) = C \cdot (-120)\)

Theo đề bài, \(P(-1) = 1\). Vậy ta có phương trình:
\(1 = -120 \cdot C\)
\(C = -\frac{1}{120}\)

Vậy, đa thức \(P(x)\) có dạng cụ thể là:
\(P(x) = -\frac{1}{120} \cdot x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4)\)

Bước 3: Tính giá trị của \(P(1/2)\).

Thay \(x=\frac{1}{2}\) vào biểu thức của \(P(x)\):
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-1\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-3\right) \cdot \left(\frac{1}{2}-4\right)\)
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{120} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-\frac{7}{2}\right)\)

Bây giờ chúng ta tính tích các phân số:
\(\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) \cdot \left(-\frac{7}{2}\right)\)
Trong 5 phân số này, có 4 phân số mang dấu âm. Tích của một số chẵn các số âm là một số dương. Do đó, kết quả tích này sẽ là dương.
Tử số: \(1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\)
Mẫu số: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
Vậy, tích này bằng \(\frac{105}{32}\).

Tiếp tục tính \(P\left(\frac{1}{2}\right)\):
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{120} \cdot \frac{105}{32}\)

Rút gọn phân số \(\frac{105}{120}\):
\(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\)
\(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5\)
\(\frac{105}{120} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{8 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{8}\)

Cuối cùng:
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8} \cdot \frac{7}{32}\)
\(P\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{256}\)

Kết quả cuối cùng:

Vậy, giá trị của \(P\left(\frac{1}{2}\right)\) là \(-\frac{7}{256}\).

Các em thấy không, việc phân tích từng bước một và áp dụng các tính chất của đa thức giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách rõ ràng và chính xác. Hy vọng các em đã hiểu bài và thấy hứng thú hơn với môn Toán nhé!