Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rút gọn biểu thức khá thú vị.

Bài toán: Rút gọn biểu thức sau:

\( A = (x + y – z)^3 – (x – y + z)^3 – (x – y – z)^3 \)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc, cụ thể là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu và hằng đẳng thức lập phương của một tổng.

Chúng ta có các hằng đẳng thức sau:

\( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào giải bài toán từng bước một.

Bước 1: Đặt biến phụ để đơn giản hóa biểu thức.

Ta thấy các hạng tử có cấu trúc tương tự nhau. Hãy đặt:

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y – z \)

Khi đó, hạng tử đầu tiên là \( (x + (y – z))^3 = (a + b)^3 \)

Bây giờ, hãy xem xét các hạng tử còn lại:

Hạng tử thứ hai: \( (x – y + z)^3 = (x – (y – z))^3 = (a – b)^3 \)

Hạng tử thứ ba: \( (x – y – z)^3 \). Chúng ta có thể viết lại là \( (x – (y + z))^3 \). Tuy nhiên, việc đặt \( b = y – z \) ở trên sẽ giúp chúng ta đồng nhất hơn. Hãy nhìn kỹ hạng tử này so với \( (a – b)^3 \).

Ta có \( (a – b)^3 = (x – (y – z))^3 = (x – y + z)^3 \). Hạng tử thứ ba của chúng ta là \( (x – y – z)^3 \).

Hãy thử nhóm lại theo cách khác một chút để thấy sự liên hệ:

Xem xét \( (x – y – z)^3 \). Ta có thể viết nó thành \( (x – (y + z))^3 \).

Hoặc, chúng ta có thể viết \( (x – y – z)^3 \) như sau:

Nếu ta coi \( x – y \) là một đại lượng, thì \( (x – y – z)^3 \) không trực tiếp có dạng \( (a – b)^3 \) với \( a = x \) và \( b = y – z \).

Quay lại với việc đặt \( a = x \) và \( b = y – z \).

Ta có: \( (x + y – z)^3 = (a + b)^3 \)

Ta có: \( (x – y + z)^3 = (x – (y – z))^3 = (a – b)^3 \)

Bây giờ, xét hạng tử \( (x – y – z)^3 \). Chúng ta có thể viết nó thành \( (x + (-y) + (-z))^3 \).

Hoặc, chúng ta có thể nhóm lại như sau:

\( (x – y – z)^3 = (x – (y + z))^3 \).

Nếu ta xem \( x \) là \( a \) và \( y + z \) là \( c \), thì nó có dạng \( (a – c)^3 \).

Hãy thử một cách đặt biến phụ khác cho gọn gàng hơn.

Cách đặt biến phụ thứ hai (hiệu quả hơn):

Đặt \( u = x – y \)

Khi đó, biểu thức trở thành:

\( A = (u + z)^3 – (u – 2z)^3 – (u – z)^3 \). Cách này có vẻ không đơn giản hóa được nhiều.

Chúng ta hãy quay lại cách nhìn cấu trúc của từng hạng tử:

Hạng tử 1: \( (x + y – z)^3 \)

Hạng tử 2: \( (x – y + z)^3 \)

Hạng tử 3: \( (x – y – z)^3 \)

Nhận xét:

Hạng tử 1 và 2 có \( x \) dương, còn lại là \( \pm (y – z) \).

Hạng tử 2 và 3 có \( x – y \) hoặc \( x – y \) âm, còn lại là \( \pm z \).

Hãy thử đặt các biến theo cách này:

Đặt \( X = x \)

Đặt \( Y = y – z \)

Đặt \( Z = -y + z = -(y – z) = -Y \)

Đặt \( W = -y – z \)

Với cách này, chúng ta sẽ gặp khó khăn khi biểu diễn các hạng tử.

Chúng ta hãy sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương: \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

Ta có \( (x + y – z)^3 – (x – y + z)^3 \).

Đặt \( a = x + y – z \) và \( b = x – y + z \).

Khi đó, \( a – b = (x + y – z) – (x – y + z) = x + y – z – x + y – z = 2y – 2z = 2(y – z) \).

Và \( a + b = (x + y – z) + (x – y + z) = x + y – z + x – y + z = 2x \).

Tích \( ab = (x + y – z)(x – y + z) = (x + (y – z))(x – (y – z)) = x^2 – (y – z)^2 = x^2 – (y^2 – 2yz + z^2) = x^2 – y^2 + 2yz – z^2 \).

Ta có \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \).

Còn \( a^2 + ab + b^2 \) khá phức tạp để tính ra lúc này.

Quay lại với việc sử dụng biến phụ đồng nhất hơn:

Đặt \( A_1 = x + y – z \)

Đặt \( A_2 = x – y + z \)

Đặt \( A_3 = x – y – z \)

Ta có \( A = A_1^3 – A_2^3 – A_3^3 \).

Hãy xem xét mối liên hệ giữa \( A_2 \) và \( A_3 \).

\( A_2 = x – y + z \)

\( A_3 = x – y – z \)

\( A_2 – A_3 = (x – y + z) – (x – y – z) = x – y + z – x + y + z = 2z \).

\( A_2 + A_3 = (x – y + z) + (x – y – z) = x – y + z + x – y – z = 2x – 2y = 2(x – y) \).

Bây giờ, hãy xem xét mối liên hệ giữa \( A_1 \) và \( A_2 \).

\( A_1 = x + y – z \)

\( A_2 = x – y + z \)

\( A_1 – A_2 = (x + y – z) – (x – y + z) = x + y – z – x + y – z = 2y – 2z = 2(y – z) \).

\( A_1 + A_2 = (x + y – z) + (x – y + z) = x + y – z + x – y + z = 2x \).

Chúng ta hãy thử đặt biến phụ sao cho các biểu thức có dạng đối xứng hơn.

Đặt \( a = x – y \)

Đặt \( b = z \)

Ta có:

\( (x + y – z)^3 \). Hãy viết lại là \( (x – y + 2y – z)^3 \). Vẫn không thuận tiện.

Hãy sử dụng hằng đẳng thức \( (a – b)^3 \) và \( (a + b)^3 \) trực tiếp.

Ta có:

\( (x + y – z)^3 = (x + (y – z))^3 = x^3 + 3x^2(y – z) + 3x(y – z)^2 + (y – z)^3 \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3x(y^2 – 2yz + z^2) + (y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3 \)

\( (x – y + z)^3 = (x – (y – z))^3 = x^3 – 3x^2(y – z) + 3x(y – z)^2 – (y – z)^3 \)

\( = x^3 – 3x^2y + 3x^2z + 3x(y^2 – 2yz + z^2) – (y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( = x^3 – 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 – y^3 + 3y^2z – 3yz^2 + z^3 \)

\( (x – y – z)^3 = ((x – y) – z)^3 = (x – y)^3 – 3(x – y)^2z + 3(x – y)z^2 – z^3 \)

\( = (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) – 3(x^2 – 2xy + y^2)z + 3(xz – yz)z^2 – z^3 \)

\( = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 – 3x^2z + 6xyz – 3y^2z + 3xz^2 – 3yz^2 – z^3 \)

Bây giờ chúng ta tiến hành phép trừ:

Tính \( (x + y – z)^3 – (x – y + z)^3 \):

\( (x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( – (x^3 – 3x^2y + 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 – y^3 + 3y^2z – 3yz^2 + z^3) \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3 \)

\( – x^3 + 3x^2y – 3x^2z – 3xy^2 + 6xyz – 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3 \)

Gom các hạng tử giống nhau:

\( (x^3 – x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (-3x^2z – 3x^2z) + (3xy^2 – 3xy^2) + (-6xyz + 6xyz) + (3xz^2 – 3xz^2) + (y^3 + y^3) + (-3y^2z – 3y^2z) + (3yz^2 + 3yz^2) + (-z^3 – z^3) \)

\( = 0 + 6x^2y – 6x^2z + 0 + 0 + 0 + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ trừ tiếp hạng tử thứ ba:

\( (6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3) – (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 – 3x^2z + 6xyz – 3y^2z + 3xz^2 – 3yz^2 – z^3) \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( – x^3 + 3x^2y – 3xy^2 + y^3 + 3x^2z – 6xyz + 3y^2z – 3xz^2 + 3yz^2 + z^3 \)

Gom các hạng tử giống nhau:

\( -x^3 \)

\( + (6x^2y + 3x^2y) = +9x^2y \)

\( + (-6x^2z + 3x^2z) = -3x^2z \)

\( -3xy^2 \)

\( -6xyz \)

\( -3xz^2 \)

\( + (2y^3 + y^3) = +3y^3 \)

\( + (-6y^2z + 3y^2z) = -3y^2z \)

\( + (6yz^2 + 3yz^2) = +9yz^2 \)

\( + (-2z^3 + z^3) = -z^3 \)

Vậy, \( A = -x^3 + 9x^2y – 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + 3y^3 – 3y^2z + 9yz^2 – z^3 \).

Biểu thức này còn khá dài và phức tạp. Có lẽ chúng ta đã bỏ lỡ một cách tiếp cận đơn giản hơn.

Chúng ta hãy thử cách đặt biến phụ thông minh hơn, tập trung vào cấu trúc đối xứng của biểu thức.

Nhận xét:

\( (x + y – z)^3 \)

\( -(x – y + z)^3 = -(x + (-y) + z)^3 \)

\( -(x – y – z)^3 = -(x + (-y) + (-z))^3 \)

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y \)

Đặt \( c = -z \)

Khi đó, biểu thức trở thành:

\( (a + b + c)^3 – (a – b + c)^3 – (a – b – c)^3 \).

Cách đặt này cũng chưa thực sự tối ưu.

Hãy thử một cách đặt biến phụ khác:

Đặt \( A = x \)

Đặt \( B = y – z \)

Ta có hạng tử đầu tiên là \( (A + B)^3 \).

Xét hạng tử thứ hai: \( (x – y + z)^3 = (x – (y – z))^3 = (A – B)^3 \).

Xét hạng tử thứ ba: \( (x – y – z)^3 \).

Chúng ta có thể viết lại là \( (x – (y + z))^3 \).

Hoặc, ta có thể nhóm lại như sau: \( (x – y – z)^3 = ((x – y) – z)^3 \).

Hoặc, \( (x – y – z)^3 = (x + (-y) + (-z))^3 \).

Hãy xem xét mối liên hệ giữa \( (A – B)^3 \) và \( (x – y – z)^3 \).

\( (A – B)^3 = (x – (y – z))^3 = (x – y + z)^3 \).

\( (x – y – z)^3 \).

Ta thấy rằng \( x – y – z = (x – y + z) – 2z \).

Hoặc, \( x – y – z = (x – (y – z)) – 2z \).

Hãy sử dụng hằng đẳng thức \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) và \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \).

Chúng ta có:

\( (x + y – z)^3 \)

\( -(x – y + z)^3 \)

\( -(x – y – z)^3 \)

Hãy nhóm lại như sau:

\( A = (x + (y – z))^3 – (x – (y – z))^3 – (x – (y + z))^3 \).

Đặt \( a = x \) và \( b = y – z \).

Ta có \( (a + b)^3 – (a – b)^3 \).

\( (a + b)^3 – (a – b)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) – (a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3) \)

\( = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 – a^3 + 3a^2b – 3ab^2 + b^3 \)

\( = 6a^2b + 2b^3 \).

Thay \( a = x \) và \( b = y – z \) vào:

\( 6x^2(y – z) + 2(y – z)^3 \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2(y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \).

Đây chính là kết quả của hai hạng tử đầu tiên khi trừ nhau.

Bây giờ, chúng ta cần trừ tiếp hạng tử thứ ba: \( -(x – y – z)^3 \).

Hãy xem xét \( (x – y – z)^3 \).

Đặt \( C = x – y – z \).

Ta có \( A = (6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3) – C^3 \).

Hãy thử một cách nhìn khác:

Đặt \( u = x – y \)

Đặt \( v = z \)

Biểu thức trở thành:

\( (u + 2y – v)^3 – (u + v)^3 – (u – v)^3 \). Cách này vẫn phức tạp.

Hãy thử sử dụng hằng đẳng thức \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) một lần nữa một cách cẩn thận.

Ta có:

\( (x + y – z)^3 \)

\( -(x – y + z)^3 \)

\( -(x – y – z)^3 \)

Nhận xét:

\( -(x – y + z)^3 = -(x – (y – z))^3 \)

\( -(x – y – z)^3 = -(x – (y + z))^3 \)

Hãy nhìn vào các hạng tử:

\( (x + y – z)^3 \)

\( (x – (y – z))^3 \).

\( (x – (y + z))^3 \).

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y – z \)

Đặt \( c = y + z \)

Biểu thức trở thành \( (a + b)^3 – (a – b)^3 – (a – c)^3 \).

Chúng ta đã tính được \( (a + b)^3 – (a – b)^3 = 6a^2b + 2b^3 \).

Vậy, \( A = 6x^2(y – z) + 2(y – z)^3 – (x – (y + z))^3 \).

\( A = 6x^2y – 6x^2z + 2(y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) – (x^3 – 3x^2(y + z) + 3x(y + z)^2 – (y + z)^3) \)

\( A = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( – (x^3 – 3x^2y – 3x^2z + 3x(y^2 + 2yz + z^2) – (y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3)) \)

\( A = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( – x^3 + 3x^2y + 3x^2z – 3x(y^2 + 2yz + z^2) + y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3 \)

\( A = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( – x^3 + 3x^2y + 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3 \)

Gom các hạng tử giống nhau:

\( -x^3 \)

\( + (6x^2y + 3x^2y) = +9x^2y \)

\( + (-6x^2z + 3x^2z) = -3x^2z \)

\( -3xy^2 \)

\( -6xyz \)

\( -3xz^2 \)

\( + (2y^3 + y^3) = +3y^3 \)

\( + (-6y^2z + 3y^2z) = -3y^2z \)

\( + (6yz^2 + 3yz^2) = +9yz^2 \)

\( + (-2z^3 + z^3) = -z^3 \)

Kết quả vẫn là: \( -x^3 + 9x^2y – 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + 3y^3 – 3y^2z + 9yz^2 – z^3 \).

Có lẽ có một lỗi trong quá trình áp dụng công thức hoặc trong đề bài. Tuy nhiên, với các bước đã thực hiện, đây là kết quả.

Thử lại với một cách đặt biến phụ khác:

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y \)

Đặt \( c = -z \)

Biểu thức trở thành \( (a + b + c)^3 – (a – b + c)^3 – (a – b – c)^3 \).

Ta có:

\( (a + b + c)^3 \)

\( -(a – b + c)^3 = -(a + c – b)^3 \)

\( -(a – b – c)^3 = -(a – (b + c))^3 \)

Hãy xét riêng hai hạng tử cuối:

\( -(a – b + c)^3 – (a – b – c)^3 \)

\( = -((a – b + c)^3 + (a – b – c)^3) \)

Đặt \( X = a – b \)

Ta có \( -( (X + c)^3 + (X – c)^3 ) \)

\( (X + c)^3 + (X – c)^3 = (X^3 + 3X^2c + 3Xc^2 + c^3) + (X^3 – 3X^2c + 3Xc^2 – c^3) \)

\( = 2X^3 + 6Xc^2 \)

Vậy, hai hạng tử cuối là \( -(2X^3 + 6Xc^2) = -2X^3 – 6Xc^2 \).

Thay \( X = a – b \) và \( c = -z \) (trong biến đổi ban đầu)

Ta có \( (a – b + c)^3 \) và \( (a – b – c)^3 \).

Ở đây, \( c \) là \( z \) hoặc \( -z \).

Quay lại cách đặt ban đầu, có lẽ việc khai triển đã có sai sót nhỏ.

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y – z \)

Ta có: \( A = (a + b)^3 – (a – b)^3 – (x – y – z)^3 \).

\( (a + b)^3 – (a – b)^3 = 6a^2b + 2b^3 \).

\( = 6x^2(y – z) + 2(y – z)^3 \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2(y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \).

Bây giờ xét hạng tử \( (x – y – z)^3 \).

Ta có thể viết lại là \( (x – (y + z))^3 \).

Khai triển này là: \( x^3 – 3x^2(y + z) + 3x(y + z)^2 – (y + z)^3 \)

\( = x^3 – 3x^2y – 3x^2z + 3x(y^2 + 2yz + z^2) – (y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3) \)

\( = x^3 – 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 + 6xyz + 3xz^2 – y^3 – 3y^2z – 3yz^2 – z^3 \).

Bây giờ lấy kết quả của hai hạng tử đầu trừ đi hạng tử thứ ba:

\( (6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3) – (x^3 – 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 + 6xyz + 3xz^2 – y^3 – 3y^2z – 3yz^2 – z^3) \)

\( = 6x^2y – 6x^2z + 2y^3 – 6y^2z + 6yz^2 – 2z^3 \)

\( – x^3 + 3x^2y + 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3 \)

Gom các hạng tử giống nhau:

\( -x^3 \)

\( + (6x^2y + 3x^2y) = +9x^2y \)

\( + (-6x^2z + 3x^2z) = -3x^2z \)

\( -3xy^2 \)

\( -6xyz \)

\( -3xz^2 \)

\( + (2y^3 + y^3) = +3y^3 \)

\( + (-6y^2z + 3y^2z) = -3y^2z \)

\( + (6yz^2 + 3yz^2) = +9yz^2 \)

\( + (-2z^3 + z^3) = -z^3 \)

Kết quả vẫn là: \( -x^3 + 9x^2y – 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + 3y^3 – 3y^2z + 9yz^2 – z^3 \).

Có một cách khác đơn giản hơn.

Đặt \( a = x \)

Đặt \( b = y – z \)

Ta có \( (a + b)^3 – (a – b)^3 = 6a^2b + 2b^3 \).

\( = 6x^2(y – z) + 2(y – z)^3 \).

Bây giờ xét hạng tử \( -(x – y – z)^3 \).

Ta có thể viết lại \( x – y – z = x – (y + z) \).

Hoặc, ta có thể thấy rằng \( x – y – z \) và \( x – y + z \) chỉ khác nhau ở dấu của \( z \).

Hãy thử một cách đặt biến phụ đối xứng hơn:

Đặt \( u = x \)

Đặt \( v = y \)

Đặt \( w = -z \)

Ta có \( A = (u + v + w)^3 – (u – v + w)^3 – (u – v – w)^3 \).

Hãy xét hai hạng tử cuối: \( -(u – v + w)^3 – (u – v – w)^3 \).

Đặt \( A’ = u – v \).

Ta có \( -(A’ + w)^3 – (A’ – w)^3 \).

\( -( (A’^3 + 3A’^2w + 3A’w^2 + w^3) + (A’^3 – 3A’^2w + 3A’w^2 – w^3) ) \)

\( = -(2A’^3 + 6A’w^2) = -2A’^3 – 6A’w^2 \).

Thay \( A’ = u – v = x – y \) và \( w = -z \) (theo biến đổi ban đầu):

Thì ta phải xem lại \( (u – v + w)^3 \) và \( (u – v – w)^3 \) theo \( x, y, z \).

\( (x – y + z)^3 \) và \( (x – y – z)^3 \).

Hãy sử dụng hằng đẳng thức \( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

\( (x – y + z)^3 \)

\( (x – y – z)^3 \).

Đặt \( P = x – y \).

Ta có \( (P + z)^3 – (P – z)^3 \).

\( (P + z)^3 – (P – z)^3 = (P^3 + 3P^2z + 3Pz^2 + z^3) – (P^3 – 3P^2z + 3Pz^2 – z^3) \)

\( = 6P^2z + 2z^3 \).

Thay \( P = x – y \):

\( = 6(x – y)^2z + 2z^3 = 6(x^2 – 2xy + y^2)z + 2z^3 \)

\( = 6x^2z – 12xyz + 6y^2z + 2z^3 \).

Đây là kết quả của \( (x – y + z)^3 – (x – y – z)^3 \).

Bài toán của chúng ta là \( (x + y – z)^3 – (x – y + z)^3 – (x – y – z)^3 \).

Hay \( (x + y – z)^3 – [ (x – y + z)^3 + (x – y – z)^3 ] \).

Chúng ta hãy tính \( (x – y + z)^3 + (x – y – z)^3 \).

Đặt \( X = x – y \).

Ta có \( (X + z)^3 + (X – z)^3 \).

\( (X + z)^3 + (X – z)^3 = (X^3 + 3X^2z + 3Xz^2 + z^3) + (X^3 – 3X^2z + 3Xz^2 – z^3) \)

\( = 2X^3 + 6Xz^2 \).

Thay \( X = x – y \):

\( = 2(x – y)^3 + 6(x – y)z^2 \)

\( = 2(x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) + 6(xz^2 – yz^2) \)

\( = 2x^3 – 6x^2y + 6xy^2 – 2y^3 + 6xz^2 – 6yz^2 \).

Bây giờ, chúng ta cần tính \( (x + y – z)^3 – (2x^3 – 6x^2y + 6xy^2 – 2y^3 + 6xz^2 – 6yz^2) \).

Khai triển \( (x + y – z)^3 \):

\( (x + (y – z))^3 = x^3 + 3x^2(y – z) + 3x(y – z)^2 + (y – z)^3 \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3x(y^2 – 2yz + z^2) + (y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3 \).

Trừ đi kết quả vừa tính:

\( (x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3) – (2x^3 – 6x^2y + 6xy^2 – 2y^3 + 6xz^2 – 6yz^2) \)

\( = x^3 + 3x^2y – 3x^2z + 3xy^2 – 6xyz + 3xz^2 + y^3 – 3y^2z + 3yz^2 – z^3 \)

\( – 2x^3 + 6x^2y – 6xy^2 + 2y^3 – 6xz^2 + 6yz^2 \)

Gom các hạng tử giống nhau:

\( (x^3 – 2x^3) = -x^3 \)

\( + (3x^2y + 6x^2y) = +9x^2y \)

\( -3x^2z \)

\( + (3xy^2 – 6xy^2) = -3xy^2 \)

\( -6xyz \)

\( + (3xz^2 – 6xz^2) = -3xz^2 \)

\( + (y^3 + 2y^3) = +3y^3 \)

\( -3y^2z \)

\( + (3yz^2 + 6yz^2) = +9yz^2 \)

\( -z^3 \)

Kết quả cuối cùng là: \( -x^3 + 9x^2y – 3x^2z – 3xy^2 – 6xyz – 3xz^2 + 3y^3 – 3y^2z + 9yz^2 – z^3 \).

Đây là một bài toán đòi hỏi sự cẩn thận trong việc áp dụng hằng đẳng thức và thu gọn.

Đáp án:

\( A = -x^3 + 3y^3 – z^3 + 9x^2y – 3x^2z – 3xy^2 – 3y^2z – 6xyz – 3xz^2 + 9yz^2 \)

Các em chú ý kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo không có sai sót.