a. Chứng minh rằng \( x^2 + xy + y^2 + 1 > 0 \) với mọi số thực x, y.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và chứng minh từng bước một nhé.

Bước 1: Phân tích biểu thức đã cho.

Biểu thức chúng ta cần xét là \( x^2 + xy + y^2 + 1 \). Nhìn vào biểu thức này, chúng ta có thể thấy sự xuất hiện của các số hạng bậc hai và tích của hai biến.

Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng tổng của các bình phương.

Mục tiêu của chúng ta là cố gắng đưa biểu thức về dạng mà chúng ta biết chắc chắn nó luôn dương. Một trong những cách phổ biến là biến đổi về dạng tổng của các bình phương, vì bình phương của một số thực luôn không âm (\(\geq 0\)).

Ta có thể nhóm các số hạng liên quan đến x và y lại:

\( x^2 + xy + y^2 + 1 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thử “tạo” ra một bình phương từ các số hạng này. Hãy nhìn vào \( x^2 + xy \). Để biến nó thành một phần của bình phương, chúng ta có thể nghĩ đến hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Nếu ta coi \( x \) là \( a \), thì \( xy \) tương ứng với \( 2ab \). Vậy \( 2xb = xy \), suy ra \( b = \frac{y}{2} \). Như vậy, ta cần có \( b^2 = (\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4} \).

Ta sẽ thêm và bớt \( \frac{y^2}{4} \) vào biểu thức:

\( x^2 + xy + \frac{y^2}{4} – \frac{y^2}{4} + y^2 + 1 \)

Bây giờ, ba số hạng đầu tiên \( x^2 + xy + \frac{y^2}{4} \) chính là bình phương của \( (x + \frac{y}{2}) \):

\( (x + \frac{y}{2})^2 – \frac{y^2}{4} + y^2 + 1 \)

Tiếp theo, ta kết hợp các số hạng chứa \( y \):

\( (x + \frac{y}{2})^2 + (y^2 – \frac{y^2}{4}) + 1 \)
\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 1 \)

Như vậy, chúng ta đã biến đổi biểu thức ban đầu thành:

\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 1 \)

Bước 3: Chứng minh biểu thức luôn dương.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét từng số hạng trong biểu thức mới:

• \( (x + \frac{y}{2})^2 \): Đây là bình phương của một số thực. Do đó, \( (x + \frac{y}{2})^2 \geq 0 \) với mọi x, y.
• \( \frac{3}{4}y^2 \): \( \frac{3}{4} \) là một số dương, và \( y^2 \geq 0 \) với mọi y. Do đó, \( \frac{3}{4}y^2 \geq 0 \) với mọi y.
• \( 1 \): Đây là một hằng số dương.

Tổng của ba số hạng này là:

\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 1 \)

Vì \( (x + \frac{y}{2})^2 \geq 0 \) và \( \frac{3}{4}y^2 \geq 0 \), nên tổng của chúng \( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 \geq 0 \).

Cộng thêm 1 vào tổng này, ta được:

\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 1 \geq 0 + 1 \)
\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 1 \geq 1 \)

Và vì \( 1 > 0 \), nên ta có:

\( (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 1 > 0 \)

Bước 4: Kết luận.

Do đó, với mọi số thực x, y, ta có:

\( x^2 + xy + y^2 + 1 > 0 \)

Điều này đã được chứng minh.

Lưu ý thêm: Các em cũng có thể biến đổi biểu thức theo một cách khác bằng cách nhóm các số hạng liên quan đến y trước, hoặc nhân biểu thức với 2 để tránh phân số. Tuy nhiên, phương pháp biến đổi về tổng các bình phương là chìa khóa để giải bài toán này.

Ví dụ, nếu nhân biểu thức với 2:

\( 2(x^2 + xy + y^2 + 1) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 + 2 \)

Ta có thể viết lại là:

\( (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 + y^2 + 2 \)
\( (x+y)^2 + x^2 + y^2 + 2 \)

Vì \( (x+y)^2 \geq 0 \), \( x^2 \geq 0 \), \( y^2 \geq 0 \), và \( 2 > 0 \), nên biểu thức này luôn dương. Từ đó suy ra biểu thức ban đầu cũng luôn dương.

Các em thấy không, toán học thật là thú vị khi chúng ta biết cách biến đổi và phân tích nó!