Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên môn Toán của các em. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài tập về hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là các hằng đẳng thức liên quan đến lập phương. Để làm tốt dạng bài này, các em cần nắm vững các công thức sau:

1. Tổng hai lập phương: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

2. Hiệu hai lập phương: \(a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

3. Lập phương của một tổng: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

4. Lập phương của một hiệu: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài a) Rút gọn biểu thức: \((x−2y)^3 −x^3+8y^3\)

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ biến đổi các hạng tử để áp dụng các hằng đẳng thức đã học.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \(8y^3\) có thể viết lại thành \((2y)^3\).
Vậy biểu thức trở thành: \((x−2y)^3 −x^3+(2y)^3\)

Chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại để áp dụng hằng đẳng thức tổng hoặc hiệu hai lập phương. Cô sẽ nhóm \((x−2y)^3\) và \((2y)^3\).

Biểu thức sẽ là: \((x−2y)^3 + (2y)^3 – x^3\)

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương cho \((x−2y)^3 + (2y)^3\), với \(a = (x−2y)\) và \(b = (2y)\):
Công thức: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

Thay \(a\) và \(b\) vào công thức, ta được:
\(( (x-2y) + 2y ) \cdot ( (x-2y)^2 – (x-2y)(2y) + (2y)^2 ) – x^3\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn từng phần trong biểu thức trên:

Phần đầu tiên (tổng của \(a\) và \(b\)):
\((x-2y) + 2y = x\)

Phần thứ hai (tổng của các bình phương và tích):
\((x-2y)^2 – (x-2y)(2y) + (2y)^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu cho \((x-2y)^2\): \((x-2y)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = x^2 – 4xy + 4y^2\)
Thực hiện phép nhân: \(-(x-2y)(2y) = -(2xy – 4y^2) = -2xy + 4y^2\)
Hạng tử còn lại: \((2y)^2 = 4y^2\)

Cộng các hạng tử này lại:
\((x^2 – 4xy + 4y^2) + (-2xy + 4y^2) + 4y^2\)
\(= x^2 – 4xy + 4y^2 – 2xy + 4y^2 + 4y^2\)
\(= x^2 – (4xy + 2xy) + (4y^2 + 4y^2 + 4y^2)\)
\(= x^2 – 6xy + 12y^2\)

Vậy, tích của hai phần này là:
\(x \cdot (x^2 – 6xy + 12y^2) = x^3 – 6x^2y + 12xy^2\)

Bây giờ, thay kết quả này trở lại biểu thức ban đầu:
\((x^3 – 6x^2y + 12xy^2) – x^3\)

Rút gọn biểu thức cuối cùng:
\(= x^3 – 6x^2y + 12xy^2 – x^3\)
\(= (x^3 – x^3) – 6x^2y + 12xy^2\)
\(= -6x^2y + 12xy^2\)

Kết quả cuối cùng: \(-6x^2y + 12xy^2\)

Bài b) Rút gọn biểu thức: \((x+y/2)^3 – ( x -y/2)^3\)

Lời giải chi tiết:

Bài toán này có dạng hiệu của hai lập phương: \(A^3 – B^3\), với \(A = (x+y/2)\) và \(B = (x-y/2)\).

Áp dụng hằng đẳng thức: \(A^3 – B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)\)

Bước 1: Tính \(A-B\)

\(A-B = (x+y/2) – (x-y/2)\)
\(= x + y/2 – x + y/2\)
\(= (x-x) + (y/2 + y/2)\)
\(= 0 + y\)
\(= y\)

Bước 2: Tính \(A^2\), \(B^2\) và \(AB\)

\(A^2 = (x+y/2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (y/2) + (y/2)^2 = x^2 + xy + y^2/4\)

\(B^2 = (x-y/2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot (y/2) + (y/2)^2 = x^2 – xy + y^2/4\)

\(AB = (x+y/2)(x-y/2)\)
Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
Vậy, \(AB = x^2 – (y/2)^2 = x^2 – y^2/4\)

Bước 3: Tính \(A^2+AB+B^2\)

\(A^2+AB+B^2 = (x^2 + xy + y^2/4) + (x^2 – y^2/4) + (x^2 – xy + y^2/4)\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\(= (x^2 + x^2 + x^2) + (xy – xy) + (y^2/4 – y^2/4 + y^2/4)\)
\(= 3x^2 + 0 + y^2/4\)
\(= 3x^2 + y^2/4\)

Bước 4: Nhân kết quả của Bước 1 và Bước 3

\((A-B)(A^2+AB+B^2) = y \cdot (3x^2 + y^2/4)\)

Thực hiện phép nhân:
\(= 3x^2y + y \cdot y^2/4\)
\(= 3x^2y + y^3/4\)

Kết quả cuối cùng: \(3x^2y + y^3/4\)

Bài c) Rút gọn biểu thức: \((2x−y)^3+(2x+y)^3\)

Lời giải chi tiết:

Bài toán này có dạng tổng của hai lập phương: \(A^3 + B^3\), với \(A = (2x−y)\) và \(B = (2x+y)\).

Áp dụng hằng đẳng thức: \(A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)\)

Bước 1: Tính \(A+B\)

\(A+B = (2x-y) + (2x+y)\)
\(= 2x – y + 2x + y\)
\(= (2x+2x) + (-y+y)\)
\(= 4x + 0\)
\(= 4x\)

Bước 2: Tính \(A^2\), \(B^2\) và \(AB\)

\(A^2 = (2x-y)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 – 4xy + y^2\)

\(B^2 = (2x+y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2\)

\(AB = (2x-y)(2x+y)\)
Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\)
Vậy, \(AB = (2x)^2 – y^2 = 4x^2 – y^2\)

Bước 3: Tính \(A^2-AB+B^2\)

\(A^2-AB+B^2 = (4x^2 – 4xy + y^2) – (4x^2 – y^2) + (4x^2 + 4xy + y^2)\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng (nhớ đổi dấu khi bỏ ngoặc trước dấu trừ):

\(= 4x^2 – 4xy + y^2 – 4x^2 + y^2 + 4x^2 + 4xy + y^2\)
\(= (4x^2 – 4x^2 + 4x^2) + (-4xy + 4xy) + (y^2 + y^2 + y^2)\)
\(= 4x^2 + 0 + 3y^2\)
\(= 4x^2 + 3y^2\)

Bước 4: Nhân kết quả của Bước 1 và Bước 3

\((A+B)(A^2-AB+B^2) = 4x \cdot (4x^2 + 3y^2)\)

Thực hiện phép nhân:
\(= 4x \cdot 4x^2 + 4x \cdot 3y^2\)
\(= 16x^3 + 12xy^2\)

Kết quả cuối cùng: \(16x^3 + 12xy^2\)

Bài d) Rút gọn biểu thức: \((2x+3)(4x^2−6x+9)−(25+8x^3)\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta hãy xem xét từng phần của biểu thức.

Phần đầu tiên là tích: \((2x+3)(4x^2−6x+9)\)

Hãy để ý các hạng tử trong ngoặc thứ hai:
\(4x^2 = (2x)^2\)
\(9 = 3^2\)
\(6x = (2x) \cdot 3\)

Vậy, biểu thức \((2x+3)(4x^2−6x+9)\) chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức tổng hai lập phương:
\((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\)

Ở đây, \(a = 2x\) và \(b = 3\).
Vậy, \((2x+3)(4x^2−6x+9) = (2x)^3 + 3^3\)

Tính giá trị của \((2x)^3 + 3^3\):
\((2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3\)
\(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)

Do đó, \((2x+3)(4x^2−6x+9) = 8x^3 + 27\)

Bây giờ, thay kết quả này vào biểu thức ban đầu:

\((8x^3 + 27) – (25 + 8x^3)\)

Thực hiện phép trừ (nhớ đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai khi bỏ ngoặc):
\(= 8x^3 + 27 – 25 – 8x^3\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(= (8x^3 – 8x^3) + (27 – 25)\)
\(= 0 + 2\)
\(= 2\)

Kết quả cuối cùng: \(2\)

Bài e) Rút gọn biểu thức: \((x−1)(x^2+x+1)−(x+1)(x^2−x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ phân tích từng phần của biểu thức.

Phần đầu tiên: \((x−1)(x^2+x+1)\)

Đây chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức hiệu hai lập phương:
\((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\)

Ở đây, \(a = x\) và \(b = 1\).
Vậy, \((x−1)(x^2+x+1) = x^3 – 1^3 = x^3 – 1\)

Phần thứ hai: \((x+1)(x^2−x+1)\)

Đây chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức tổng hai lập phương:
\((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\)

Ở đây, \(a = x\) và \(b = 1\).
Vậy, \((x+1)(x^2−x+1) = x^3 + 1^3 = x^3 + 1\)

Bây giờ, thay các kết quả này vào biểu thức ban đầu:

\((x^3 – 1) – (x^3 + 1)\)

Thực hiện phép trừ (nhớ đổi dấu các hạng tử trong ngoặc thứ hai khi bỏ ngoặc):
\(= x^3 – 1 – x^3 – 1\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:
\(= (x^3 – x^3) + (-1 – 1)\)
\(= 0 + (-2)\)
\(= -2\)

Kết quả cuối cùng: \(-2\)

Các em thấy đó, việc nắm vững các hằng đẳng thức giúp chúng ta giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy ôn tập thật kỹ các công thức này nhé!