Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” và giải quyết các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử này nhé. Đây đều là những dạng bài tập rất hay gặp và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta sẽ cùng nhau thực hiện từng bước một!

***

a) Phân tích đa thức: \(x^3 – 3x^2 + 3x – 1\)

Để phân tích đa thức này, các em hãy nhớ lại một trong những “siêu hằng đẳng thức” của chúng ta, đó là lập phương của một hiệu:

\((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\)

Bây giờ, chúng ta hãy quan sát đa thức đã cho: \(x^3 – 3x^2 + 3x – 1\).

Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy các thành phần tương ứng:

• \(A^3\) tương ứng với \(x^3\), vậy ta có thể đặt \(A = x\).
• \(-B^3\) tương ứng với \(-1\), vậy ta có thể đặt \(B = 1\).

Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra xem các hạng tử ở giữa có khớp với hằng đẳng thức không nhé:

• \(-3A^2B = -3(x)^2(1) = -3x^2\). Hoàn toàn khớp với hạng tử thứ hai của đa thức!
• \(+3AB^2 = +3(x)(1)^2 = +3x\). Hoàn toàn khớp với hạng tử thứ ba của đa thức!

Vì tất cả các hạng tử đều khớp với hằng đẳng thức lập phương của một hiệu, nên chúng ta có thể kết luận ngay:

\(x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = (x – 1)^3\)

Vậy, kết quả phân tích là: \((x – 1)^3\).

***

b) Phân tích đa thức: \(-8x^3 + 12x^2 – 6x + 1\)

Với bài này, các em có thể thấy hạng tử đầu tiên là \(-8x^3\), có dấu âm. Đừng lo lắng nhé! Chúng ta có thể sắp xếp lại các hạng tử để đưa về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức, hoặc đơn giản là nhận ra thứ tự của các hạng tử.

Hãy sắp xếp lại đa thức một chút để hạng tử có bậc thấp hơn đứng trước, giống như một số dạng hằng đẳng thức chúng ta thường thấy:

\(1 – 6x + 12x^2 – 8x^3\)

Bây giờ, đa thức này trông rất giống hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\).

Hãy cùng xác định \(A\) và \(B\):

• Hạng tử \(A^3\) tương ứng với \(1\), vậy ta có thể đặt \(A = 1\).
• Hạng tử \(-B^3\) tương ứng với \(-8x^3\). Để \(-B^3 = -8x^3\), thì \(B^3 = 8x^3\). Từ đó suy ra \(B = 2x\).

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra các hạng tử ở giữa để chắc chắn nhé:

• \(-3A^2B = -3(1)^2(2x) = -3 \cdot 1 \cdot 2x = -6x\). Hoàn toàn khớp với hạng tử thứ hai (\(-6x\)) của đa thức sau khi sắp xếp!
• \(+3AB^2 = +3(1)(2x)^2 = +3 \cdot 1 \cdot (4x^2) = +12x^2\). Hoàn toàn khớp với hạng tử thứ ba (\(+12x^2\)) của đa thức sau khi sắp xếp!

Vì vậy, đa thức đã cho chính là khai triển của \((1 – 2x)^3\).

Vậy, kết quả phân tích là: \((1 – 2x)^3\).

***

c) Phân tích đa thức: \(x^3 – 3xy(x – y) – y^3\)

Bài này trông có vẻ “lạ” hơn một chút vì có hạng tử \(-3xy(x – y)\). Tuy nhiên, nếu các em nhớ kỹ hằng đẳng thức và chịu khó khai triển một chút, bài toán sẽ trở nên rất đơn giản!

Chúng ta vẫn sẽ dựa vào hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \((A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3\).

Hãy thử đặt \(A = x\) và \(B = y\). Khi đó, vế phải của hằng đẳng thức sẽ là:

\(x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3\)

Bây giờ, chúng ta quay lại đa thức ban đầu: \(x^3 – 3xy(x – y) – y^3\).

Hãy tập trung vào hạng tử “lạ” ở giữa: \(-3xy(x – y)\).

Thực hiện phép nhân phân phối (khai triển) cho hạng tử này:

\(-3xy(x – y) = (-3xy) \cdot x + (-3xy) \cdot (-y)\)

\(= -3x^2y + 3xy^2\)

Tuyệt vời! Bây giờ, chúng ta thay kết quả khai triển này vào đa thức ban đầu:

\(x^3 + (-3x^2y + 3xy^2) – y^3\)

\(= x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3\)

Ồ! Đây chính xác là khai triển của \((x – y)^3\)!

Vậy, kết quả phân tích là: \((x – y)^3\).

***

Hy vọng qua các bước giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách nhận diện và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Chìa khóa ở đây là sự quan sát và luyện tập thường xuyên nhé!

Chúc các em luôn học tốt và yêu thích môn Toán!