Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài tập về rút gọn biểu thức đại số. Đây là những dạng bài tập rất hay gặp, giúp các em củng cố kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Để giải quyết các bài tập này một cách nhanh chóng và chính xác, chúng ta cần nhận diện được các hằng đẳng thức sau:

• Bình phương của một tổng: \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\)
• Bình phương của một hiệu: \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)

Bây giờ, chúng ta hãy cùng đi vào từng bài một nhé!

Bài a) Rút gọn biểu thức: \((x+3)^2 + (x-2)^2 – 2(x+3)(x-2)\)

Phân tích:
Các em hãy quan sát kỹ biểu thức này. Chúng ta có ba thành phần:

• Thành phần thứ nhất: \((x+3)^2\) – đây là dạng \(A^2\)
• Thành phần thứ hai: \((x-2)^2\) – đây là dạng \(B^2\)
• Thành phần thứ ba: \(-2(x+3)(x-2)\) – đây là dạng \(-2AB\)

Như vậy, biểu thức này có dạng tổng quát là \(\mathbf{A^2 + B^2 – 2AB}\). Đây chính là khai triển của hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(\mathbf{(A-B)^2}\).

Giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\), hoặc đảo ngược lại là \(A^2 + B^2 – 2AB = (A-B)^2\).

Trong biểu thức này:

• Ta đặt \(A = (x+3)\)
• Và \(B = (x-2)\)

Thay thế A và B vào hằng đẳng thức, ta có:

\((x+3)^2 + (x-2)^2 – 2(x+3)(x-2)\)

\(= ((x+3) – (x-2))^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc vuông:

\(= (x+3 – x + 2)^2\) (Lưu ý: khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong)

\(= ( (x-x) + (3+2) )^2\)

\(= (0 + 5)^2\)

\(= 5^2\)

\(= 25\)

Vậy, kết quả của bài a) là \(\mathbf{25}\).

Bài b) Rút gọn biểu thức: \((x-y)^2 + (x+y)^2 – 2(x+y)(x-y)\)

Phân tích:
Tương tự như bài a), biểu thức này cũng có dạng \(\mathbf{A^2 + B^2 – 2AB}\), là khai triển của \(\mathbf{(A-B)^2}\).

Giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Trong biểu thức này:

• Ta đặt \(A = (x-y)\)
• Và \(B = (x+y)\)

Thay thế A và B vào hằng đẳng thức, ta có:

\((x-y)^2 + (x+y)^2 – 2(x+y)(x-y)\)

\(= ((x-y) – (x+y))^2\)

Rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc vuông:

\(= (x-y – x – y)^2\) (Nhớ đổi dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ)

\(= ( (x-x) + (-y-y) )^2\)

\(= (0 – 2y)^2\)

\(= (-2y)^2\)

\(= (-2)^2 \cdot y^2\)

\(= 4y^2\)

Vậy, kết quả của bài b) là \(\mathbf{4y^2}\).

Bài c) Rút gọn biểu thức: \((x-2)^2 + (x+1)^2 + 2(x-2)(-1-x)\)

Phân tích:
Ở bài này, chúng ta cần một chút khéo léo để nhận ra hằng đẳng thức. Biểu thức có vẻ hơi khác một chút ở thành phần cuối cùng: \(+ 2(x-2)(-1-x)\).

Hãy chú ý đến \((-1-x)\). Chúng ta có thể viết lại nó như sau:

\(-1-x = -(1+x) = -(x+1)\)

Vậy, thành phần cuối cùng trở thành: \(+ 2(x-2)(-(x+1))\) = \(-2(x-2)(x+1)\).

Khi đó, biểu thức ban đầu sẽ trở thành:

\((x-2)^2 + (x+1)^2 – 2(x-2)(x+1)\)

Lúc này, nó đã trở về dạng quen thuộc: \(\mathbf{A^2 + B^2 – 2AB}\), là khai triển của \(\mathbf{(A-B)^2}\).

Giải:

Đầu tiên, biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức:

\((x-2)^2 + (x+1)^2 + 2(x-2)(-1-x)\)

\(= (x-2)^2 + (x+1)^2 + 2(x-2) \cdot (-(x+1))\)

\(= (x-2)^2 + (x+1)^2 – 2(x-2)(x+1)\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Trong biểu thức này:

• Ta đặt \(A = (x-2)\)
• Và \(B = (x+1)\)

Thay thế A và B vào hằng đẳng thức, ta có:

\(= ((x-2) – (x+1))^2\)

Rút gọn biểu thức bên trong dấu ngoặc vuông:

\(= (x-2 – x – 1)^2\) (Nhớ đổi dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ)

\(= ( (x-x) + (-2-1) )^2\)

\(= (0 – 3)^2\)

\(= (-3)^2\)

\(= 9\)

Vậy, kết quả của bài c) là \(\mathbf{9}\).

Tổng kết:

Qua 3 bài tập này, các em đã được ôn tập và vận dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu một cách rất hiệu quả. Điều quan trọng là phải nhận diện đúng dạng của biểu thức và biến đổi linh hoạt khi cần thiết.

Hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách làm bài tập dạng này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!