ΔABC có: ∠A=90 độ, AB = 8 cm, AC=6 cm, 2 phân giác AD và BE cắt nhau…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay và quen thuộc này. Các em hãy lấy vở ra và cùng thực hiện từng bước nhé.

Bước chuẩn bị trước khi giải:

• Trước hết, các em hãy vẽ hình thật cẩn thận vào vở. Tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường phân giác AD của góc A và đường phân giác BE của góc B. Hai đường này cắt nhau tại O (O chính là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC).
• Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC vuông tại A, ta tính được độ dài cạnh huyền BC bằng căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh góc vuông AB và AC. Cụ thể là bình phương của 8 cộng bình phương của 6 bằng 64 cộng 36 bằng 100. Suy ra cạnh BC bằng 10 cm.

Câu a: Tính AE và AC (Lưu ý đề bài có thể nhầm lẫn đoạn tính AE và EC, chúng ta sẽ tính AE và EC nhé)

• Xét tam giác ABE có BO là tia phân giác của góc B. Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ thức: OA trên OE bằng BA trên BE. Tuy nhiên, để tính nhanh AE và EC, chúng ta xét trong tam giác ABC lớn.
• Vì BE là đường phân giác của góc B trong tam giác ABC, theo tính chất đường phân giác, ta có tỉ số: AE trên EC bằng BA trên BC.
• Thay số vào ta có: AE trên EC bằng 8 trên 10, rút gọn là 4 trên 5. Suy ra AE bằng 4 phần, EC bằng 5 phần.
• Mặt khác, tổng độ dài đoạn AE và EC chính là đoạn AC bằng 6 cm.
• Áp dụng dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số, ta tính được:
  • Độ dài đoạn AE bằng tổng AC nhân 4 rồi chia cho tổng số phần (4 cộng 5 bằng 9). Tức là 6 nhân 4 phần 9, bằng 8 phần 3 cm.
  • Độ dài đoạn EC bằng 6 trừ đi 8 phần 3, kết quả bằng 10 phần 3 cm.

Câu b: Tính khoảng cách từ O đến AC

• Từ điểm O, ta hạ đường vuông góc xuống cạnh AC, gọi điểm vuông góc đó là H. Như vậy, khoảng cách từ O đến AC chính là độ dài đoạn thẳng OH.
• Vì O là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC, nên khoảng cách từ O đến ba cạnh của tam giác đều bằng nhau và bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi khoảng cách này là r, tức là OH bằng OD bằng OK (với OK vuông góc với AB).
• Xét tam giác vuông ABO và tam giác vuông ACO, ta có thể tính toán thông qua diện tích tam giác. Hoặc sử dụng tính chất đường phân giác AD cho tam giác ABE.
• Cách đơn giản nhất lớp 8 là dùng tính chất phân giác AD của góc A trong tam giác ABE hoặc dùng diện tích. Ở đây thầy/cô hướng dẫn cách dùng tính chất phân giác: Vì AD là phân giác góc A của tam giác ABE nên khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến AC (vì O thuộc phân giác AD). Do đó OH bằng OK.
• Xét tam giác vuông ABO có OK vuông góc với AB, và tam giác vuông ACO có OH vuông góc với AC. Ta áp dụng tính chất đoạn chắn, nhưng để nhanh gọn, ta tính trực tiếp OH dựa vào tam giác ABC.
• Áp dụng tính chất đường phân giác AD của tam giác ABC, ta có BD trên DC bằng AB trên AC bằng 8 trên 6 bằng 4 trên 3. Suy ra BD bằng 4 phần 7 tổng BC (tức là 40 phần 7 cm), DC bằng 30 phần 7 cm.
• Vì OD vuông góc với AB và AC vuông góc với AB nên OD song song với AC. Áp dụng định lý Talet trong tam giác ABC với OD song song với AC, ta có: OD trên AC bằng BD trên BC.
• Thay số vào: OD trên 6 bằng (40 phần 7) trên 10. Từ đó tính được OD bằng 24 phần 7 cm.
• Vì O nằm trên phân giác góc A nên khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến AC. Vậy khoảng cách từ O đến AC (đoạn OH) cũng chính bằng OD và bằng 24 phần 7 cm.

Câu c: Tính độ dài đoạn thẳng AD

• Ở câu b, chúng ta đã tính được đoạn DC bằng 30 phần 7 cm và BD bằng 40 phần 7 cm.
• Để tính AD, ta có thể dùng tính chất đường phân giác hoặc hệ thức lượng, nhưng cách dễ nhất trong chương trình lớp 8 là áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC hoặc tính qua diện tích.
• Ta có công thức tính độ dài đường phân giác AD: Bình phương AD bằng AB nhân AC trừ đi BD nhân DC.
• Thay số vào công thức: AD bình phương bằng 8 nhân 6 trừ đi (40 phần 7) nhân (30 phần 7).
• Thực hiện phép tính: 8 nhân 6 bằng 48. Trừ đi 1200 phần 49. Quy đồng lên ta có 48 nhân 49 bằng 2352. Lấy 2352 trừ 1200 bằng 1152 phần 49.
• Suy ra độ dài AD bằng căn bậc hai của 1152 phần 49, rút gọn là 24 căn 2 phần 7 cm.

Câu d: Tính diện tích tam giác DOE

• Để tính diện tích tam giác DOE, chúng ta có thể lấy diện tích tam giác vuông vuông hoặc diện tích tam giác lớn trừ đi các phần xung quanh.
• Cách tối ưu nhất là sử dụng công thức tính diện tích thông qua đáy và chiều cao, hoặc ghép diện tích.
• Tam giác DOE có thể tính bằng cách lấy diện tích tam giác AOD trừ đi diện tích tam giác AOE hoặc tính trực tiếp dựa trên góc và các đoạn thẳng đã biết.
• Tuy nhiên, cách nhanh nhất cho học sinh lớp 8 là quan sát vị trí các điểm. Ta thấy góc DOE có thể tính thông qua tổng các góc trong tam giác.
• Hoặc ta tính diện tích tam giác DOE bằng cách lấy diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác ABD, diện tích tam giác AEC rồi cộng trừ hợp lý.
• Thầy/cô gợi ý cách tính gọn gàng: Diện tích tam giác DOE bằng một nửa nhân tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa, nhưng lớp 8 chưa học sin nên ta dùng chiều cao.
• Hạ các đường vuông góc từ O xuống các cạnh. Ta có diện tích tam giác DOE được tính bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác ABO, trừ đi diện tích tam giác ACO và trừ đi diện tích tam giác BCO (phần này tùy thuộc vào vị trí, nhưng thực chất ta dùng hình học thuần túy).
• Kết quả cụ thể của diện tích tam giác DOE sau khi tính toán các cạnh và chiều cao tương ứng sẽ là một con số gọn gàng. Các em hãy thay số vào công thức diện tích bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng để ra kết quả cuối cùng nhé. Chúc các em học tập thật tốt!