∆ABC. G là trọng tâm ∆ABC. M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. Chứng…

Chào các em học sinh lớp 10 yêu quý! Hôm nay, thầy và các em sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về vectơ trong chương trình Hình học lớp 10. Đây là một dạng toán nền tảng giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi vectơ cực kỳ tốt.

Để giải quyết bài toán này một cách dễ hiểu nhất, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức cốt lõi sau đây:

• Tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Nếu M là trung điểm của AB thì đối với bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng, ta luôn có quy tắc trung điểm. Đặc biệt, với gốc là một điểm bất kỳ, ta có công thức tính vectơ.
• Tính chất trọng tâm của tam giác: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC sẽ bằng vectơ không.
• Quy tắc cộng vectơ và các phép toán nhân số với vectơ.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần chứng minh chi tiết từng bước một nhé.

Bước 1: Biểu diễn các vectơ M, N, P theo các đỉnh của tam giác và trọng tâm G

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Theo tính chất trọng tâm, ta có hệ thức vectơ: Vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC bằng vectơ không.

Vì M là trung điểm của cạnh AB, theo quy tắc trung điểm đối với điểm G, ta có:

Vectơ GM bằng một phần hai tổng của vectơ GA và vectơ GB.

Tương tự như vậy, vì N là trung điểm của cạnh BC và P là trung điểm của cạnh CA, ta lần lượt có các biểu diễn vectơ sau:

Vectơ GN bằng một phần hai tổng của vectơ GB và vectơ GC.

Vectơ GP bằng một phần hai tổng của vectơ GC và vectơ GA.

Bước 2: Thay thế và cộng vế theo vế các biểu thức vectơ vừa tìm được

Bây giờ, chúng ta xét tổng của ba vectơ cần chứng minh là tổng của vectơ GM, vectơ GN và vectơ GP.

Thực hiện thay thế các biểu thức ở bước một vào tổng này, ta có:

Tổng cần tính bằng một phần hai nhân với tổng của các ngoặc sau: ngoặc thứ nhất là vectơ GA cộng vectơ GB, cộng tiếp với ngoặc thứ hai là vectơ GB cộng vectơ GC, cộng tiếp với ngoặc thứ ba là vectơ GC cộng vectơ GA.

Bước 3: Thu gọn biểu thức và kết luận

Khi phá ngoặc và nhóm các vectơ lại với nhau, chúng ta đếm số lần xuất hiện của mỗi vectơ đỉnh:

Vectơ GA xuất hiện 2 lần.

Vectơ GB xuất hiện 2 lần.

Vectơ GC xuất hiện 2 lần.

Do đó, bên trong ngoặc lúc này sẽ là: 2 nhân với tổng của (vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC).

Khi nhân với hệ số một phần hai ở bên ngoài, số 2 sẽ bị triệt tiêu, và biểu thức rút gọn cuối cùng chỉ còn lại là: Vectơ GA cộng vectơ GB cộng vectơ GC.

Mà từ giả thiết ban đầu, G chính là trọng tâm của tam giác ABC, nên tổng của ba vectơ GA, GB, GC chắc chắn bằng vectơ không.

Vậy, tổng của vectơ GM, vectơ GN và vectơ GP đúng bằng vectơ không. Điều này hoàn toàn phải chứng minh!

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này không chỉ dừng lại ở đây. Các em hoàn toàn có thể áp dụng kết quả này cho các bài toán nâng cao hơn bằng cách thay đổi vị trí điểm G hoặc mở rộng ra không gian đa giác. Hãy ghi chép lại cẩn thận và tự tay làm lại một lần nữa để nhớ lâu hơn nhé. Chúc các em học tập thật tốt!