Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán rút gọn biểu thức mà các em thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Đây là dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các kiến thức về căn bậc hai, hằng đẳng thức đáng nhớ và quy tắc rút gọn phân thức.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng bài nhé!

—

Bài 1:
Đề bài: Cho biểu thức \(A = \left( \frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2} – \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2} \right) \left( \sqrt{a} – \frac{4}{\sqrt{a}} \right)\).
(Thầy/cô giả sử đề bài được viết tường minh là \(A = \left( \frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2} – \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2} \right) \left( \sqrt{a} – \frac{4}{\sqrt{a}} \right)\) với biến là \(a\), để tránh nhầm lẫn với ký hiệu \(a\) của cả biểu thức.)

Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
2. Rút gọn từng nhân tử trong biểu thức.
3. Nhân các nhân tử đã rút gọn để tìm biểu thức cuối cùng.

Giải chi tiết:

1. Điều kiện xác định:

Để biểu thức A có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

• Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(a \ge 0\).
• Các mẫu số phải khác 0:
• \(\sqrt{a}+2 \neq 0\) (luôn đúng vì \(\sqrt{a} \ge 0\)).
• \(\sqrt{a}-2 \neq 0 \implies \sqrt{a} \neq 2 \implies a \neq 4\).
• \(\sqrt{a} \neq 0 \implies a \neq 0\).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có điều kiện xác định của biểu thức là \(a > 0\) và \(a \neq 4\).

2. Rút gọn từng nhân tử:

a) Rút gọn nhân tử thứ nhất: \(\left( \frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2} – \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2} \right)\)

Để trừ hai phân thức, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất là \((\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2) = a-4\).

\( = \frac{(\sqrt{a}-2)^2 – (\sqrt{a}+2)^2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)} \)

Áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\) và \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\):

\( = \frac{(a – 4\sqrt{a} + 4) – (a + 4\sqrt{a} + 4)}{a-4} \)

Phá ngoặc và rút gọn tử số:

\( = \frac{a – 4\sqrt{a} + 4 – a – 4\sqrt{a} – 4}{a-4} \)

\( = \frac{(a-a) + (-4\sqrt{a}-4\sqrt{a}) + (4-4)}{a-4} \)

\( = \frac{-8\sqrt{a}}{a-4} \)

b) Rút gọn nhân tử thứ hai: \(\left( \sqrt{a} – \frac{4}{\sqrt{a}} \right)\)

Để trừ hai số hạng này, chúng ta cũng cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(\sqrt{a}\).

\( = \frac{(\sqrt{a})^2 – 4}{\sqrt{a}} \)

\( = \frac{a-4}{\sqrt{a}} \)

3. Nhân hai nhân tử đã rút gọn:

Bây giờ chúng ta thay các biểu thức đã rút gọn vào biểu thức A ban đầu:

\( A = \left( \frac{-8\sqrt{a}}{a-4} \right) \cdot \left( \frac{a-4}{\sqrt{a}} \right) \)

Với điều kiện \(a > 0\) và \(a \neq 4\), ta có thể rút gọn \(\sqrt{a}\) ở tử và mẫu, và \(a-4\) ở tử và mẫu:

\( A = -8 \)

Kết luận:

Vậy, với \(a > 0\) và \(a \neq 4\), biểu thức đã cho có giá trị là \(A = -8\).

—

Bài 2:
Đề bài: Cho biểu thức \(A = \frac{5\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2} + \frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} – \frac{x+2\sqrt{x}+8}{x-4}\).
(Thầy/cô giả sử “x mũ 2” trong tử số của phân thức cuối cùng là một lỗi chính tả và đúng ra phải là “x” để phù hợp với dạng bài tập rút gọn biểu thức ở lớp 9. Nếu là \(x^2\), việc rút gọn sẽ phức tạp hơn nhiều và không theo khuôn mẫu thông thường của bài toán này.)

Hướng dẫn giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
2. Quy đồng mẫu số của các phân thức.
3. Cộng trừ các phân thức đã quy đồng.
4. Rút gọn biểu thức cuối cùng.

Giải chi tiết:

1. Điều kiện xác định:

Để biểu thức A có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

• Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).
• Các mẫu số phải khác 0:
• \(\sqrt{x}-2 \neq 0 \implies \sqrt{x} \neq 2 \implies x \neq 4\).
• \(\sqrt{x}+2 \neq 0\) (luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\)).
• \(x-4 \neq 0 \implies x \neq 4\).

Kết hợp các điều kiện trên, ta có điều kiện xác định của biểu thức là \(x \ge 0\) và \(x \neq 4\).

2. Quy đồng mẫu số:

Ta nhận thấy rằng \(x-4\) có thể phân tích thành \((\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\) (theo hằng đẳng thức \(A^2-B^2 = (A-B)(A+B)\)).

Do đó, mẫu số chung nhỏ nhất của ba phân thức là \(x-4\).

3. Viết lại các phân thức với mẫu số chung:

• Phân thức thứ nhất: \(\frac{5\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x}+2\):

\( = \frac{(5\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{5\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 5\sqrt{x} \cdot 2 – 3 \cdot \sqrt{x} – 3 \cdot 2}{x-4} \)

\( = \frac{5x + 10\sqrt{x} – 3\sqrt{x} – 6}{x-4} = \frac{5x + 7\sqrt{x} – 6}{x-4} \)

• Phân thức thứ hai: \(\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)

Ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{x}-2\):

\( = \frac{(3\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} = \frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} – 3\sqrt{x} \cdot 2 + 1 \cdot \sqrt{x} – 1 \cdot 2}{x-4} \)

\( = \frac{3x – 6\sqrt{x} + \sqrt{x} – 2}{x-4} = \frac{3x – 5\sqrt{x} – 2}{x-4} \)

• Phân thức thứ ba: \(\frac{x+2\sqrt{x}+8}{x-4}\)

Phân thức này đã có mẫu số chung nên ta giữ nguyên.

4. Cộng trừ các phân thức:

Bây giờ chúng ta thay các phân thức đã quy đồng vào biểu thức A và thực hiện phép tính:

\( A = \frac{5x + 7\sqrt{x} – 6}{x-4} + \frac{3x – 5\sqrt{x} – 2}{x-4} – \frac{x+2\sqrt{x}+8}{x-4} \)

Vì các phân thức đã có cùng mẫu số, ta chỉ cần cộng trừ các tử số với nhau:

\( A = \frac{(5x + 7\sqrt{x} – 6) + (3x – 5\sqrt{x} – 2) – (x+2\sqrt{x}+8)}{x-4} \)

Phá ngoặc (lưu ý dấu trừ trước ngoặc thứ ba) và rút gọn tử số:

\( A = \frac{5x + 7\sqrt{x} – 6 + 3x – 5\sqrt{x} – 2 – x – 2\sqrt{x} – 8}{x-4} \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

• Các hạng tử chứa \(x\): \(5x + 3x – x = 7x\)
• Các hạng tử chứa \(\sqrt{x}\): \(7\sqrt{x} – 5\sqrt{x} – 2\sqrt{x} = (7-5-2)\sqrt{x} = 0\sqrt{x} = 0\)
• Các hạng tử tự do (hằng số): \(-6 – 2 – 8 = -16\)

Vậy, tử số sau khi rút gọn là \(7x – 16\).

5. Kết quả cuối cùng:

Thay tử số đã rút gọn vào biểu thức A:

\( A = \frac{7x – 16}{x-4} \)

Kết luận:

Vậy, với \(x \ge 0\) và \(x \neq 4\), biểu thức đã cho có giá trị là \(A = \frac{7x – 16}{x-4}\).

—

Thầy/cô hy vọng qua phần giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!