Xin chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán liên quan đến căn bậc hai và bất đẳng thức. Bài toán yêu cầu tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(B\) nhỏ hơn biểu thức \(A\).

Bài toán: Cho hai biểu thức:

\(A = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

\(B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(B < A\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức.

Để các biểu thức có nghĩa, ta cần:

• \(x \ge 0\) (biểu thức dưới dấu căn không âm)
• \(\sqrt{x} – 2 \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 2 \implies x \ne 4\)
• \(\sqrt{x} – 3 \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 3 \implies x \ne 9\)

Vậy, điều kiện xác định là \(x \ge 0\), \(x \ne 4\), \(x \ne 9\). Đồng thời, đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên của \(x\), nên \(x\) là các số nguyên không âm, khác 4 và khác 9.

Bước 2: Rút gọn biểu thức \(B\).

Để rút gọn biểu thức \(B\), chúng ta cần quy đồng mẫu số:

\(B = \frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)} + \frac{\sqrt{x}-8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

\(B = \frac{(\sqrt{x})^2 – 2^2 + \sqrt{x} – 8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

\(B = \frac{x – 4 + \sqrt{x} – 8}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

\(B = \frac{x + \sqrt{x} – 12}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích tử số \(x + \sqrt{x} – 12\). Ta có thể coi đây là một tam thức bậc hai theo \(\sqrt{x}\). Đặt \(y = \sqrt{x}\), ta có \(y^2 + y – 12\). Tìm hai số có tích bằng -12 và tổng bằng 1. Đó là 4 và -3. Nên ta có thể phân tích thành \((y+4)(y-3)\). Thay \(y = \sqrt{x}\) trở lại, ta được \((\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-3)\).

Vậy, \(B = \frac{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)}\)

Với điều kiện \(x \ne 9\) (tức là \(\sqrt{x} \ne 3\)), chúng ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-3\):

\(B = \frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}\)

Bước 3: Giải bất đẳng thức \(B < A\).

Bây giờ, bất đẳng thức trở thành:

\(\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2} < \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

Để giải bất đẳng thức này, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:

\(\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2} – \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} < 0\)

\(\frac{(\sqrt{x}+4) – (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-2} < 0\)

\(\frac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2} < 0\)

\(\frac{3}{\sqrt{x}-2} < 0\)

Bước 4: Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn bất đẳng thức.

Để phân số \(\frac{3}{\sqrt{x}-2}\) nhỏ hơn 0, vì tử số là 3 (dương), nên mẫu số \(\sqrt{x}-2\) phải là số âm.

\(\sqrt{x}-2 < 0\)

\(\sqrt{x} < 2\)

Bình phương hai vế của bất đẳng thức (lưu ý \(\sqrt{x} \ge 0\)):

\((\sqrt{x})^2 < 2^2\)

\(x < 4\)

Bước 5: Kết hợp với điều kiện xác định để tìm các giá trị nguyên của \(x\).

Chúng ta có các điều kiện sau:

• \(x \ge 0\)
• \(x \ne 4\)
• \(x \ne 9\)
• \(x < 4\)
• \(x\) là số nguyên

Kết hợp \(x \ge 0\) và \(x < 4\), ta được \(0 \le x < 4\).

Vì \(x\) là số nguyên, nên các giá trị có thể là \(0, 1, 2, 3\).

Kiểm tra với các điều kiện loại trừ \(x \ne 4\) và \(x \ne 9\). Các giá trị \(0, 1, 2, 3\) đều thỏa mãn.

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để \(B < A\) là \(x \in \{0, 1, 2, 3\}\).

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé!