Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nhé. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán 9.

Đề bài: Cho biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}\). Tìm giá trị lớn nhất của A.

Chúng ta cùng nhau phân tích và giải bài toán này theo từng bước nhé!

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Để biểu thức A có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

1. Căn bậc hai có nghĩa: \(x \ge 0\).
2. Mẫu thức phải khác 0:
   • \(\sqrt{x}+3 \ne 0\). Điều này luôn đúng vì \(\sqrt{x} \ge 0\), nên \(\sqrt{x}+3 \ge 3\).
   • \(\sqrt{x}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 3 \Rightarrow x \ne 9\).
   • \(x-9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9\).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức A

Quan sát các mẫu thức, ta thấy rằng \(x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)\). Đây chính là mẫu chung của các phân thức.

Ta có biểu thức:

\(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{3x+9}{x-9}\)

Quy đồng mẫu thức:

\(A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} – \frac{3x+9}{x-9}\)

\(A = \frac{x-3\sqrt{x}}{x-9} + \frac{2x+6\sqrt{x}}{x-9} – \frac{3x+9}{x-9}\)

Cộng trừ các tử thức với mẫu chung:

\(A = \frac{(x-3\sqrt{x}) + (2x+6\sqrt{x}) – (3x+9)}{x-9}\)

Thực hiện phép tính trên tử số:

\(A = \frac{x-3\sqrt{x} + 2x+6\sqrt{x} – 3x-9}{x-9}\)

\(A = \frac{(x+2x-3x) + (-3\sqrt{x}+6\sqrt{x}) – 9}{x-9}\)

\(A = \frac{0x + 3\sqrt{x} – 9}{x-9}\)

\(A = \frac{3\sqrt{x} – 9}{x-9}\)

Ta có thể phân tích tử số và mẫu số để rút gọn tiếp:

\(A = \frac{3(\sqrt{x} – 3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Vì \(x \ne 9\) nên \(\sqrt{x} \ne 3\), do đó \(\sqrt{x}-3 \ne 0\). Ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-3\) ở tử và mẫu:

\(A = \frac{3}{\sqrt{x}+3}\)

Vậy, biểu thức A sau khi rút gọn là \(A = \frac{3}{\sqrt{x}+3}\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Chúng ta đã rút gọn được \(A = \frac{3}{\sqrt{x}+3}\).

Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần làm cho mẫu số \(\sqrt{x}+3\) đạt giá trị nhỏ nhất (vì tử số là một hằng số dương).

Với điều kiện xác định \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\):

• Vì \(x \ge 0\), suy ra \(\sqrt{x} \ge 0\).
• Do đó, \(\sqrt{x}+3 \ge 0+3 = 3\).
• Giá trị nhỏ nhất của mẫu số \(\sqrt{x}+3\) là 3 khi \(\sqrt{x} = 0\), tức là khi \(x = 0\).

Kiểm tra điều kiện: Giá trị \(x=0\) thỏa mãn điều kiện xác định (\(0 \ge 0\) và \(0 \ne 9\)).

Khi mẫu số \(\sqrt{x}+3\) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 (tại \(x=0\)), thì biểu thức A sẽ đạt giá trị lớn nhất:

\(A_{max} = \frac{3}{0+3} = \frac{3}{3} = 1\)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1, đạt được khi \(x=0\).

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là 1, khi \(x=0\).

Các em nhớ trình bày bài thật cẩn thận và kiểm tra lại các bước nhé. Chúc các em học tốt!