Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, thầy (cô) sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết hai bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức và điền vào chỗ trống các hằng đẳng thức đáng nhớ. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước để hiểu bài thật tốt nhé!

Bài a:

Cho biểu thức \(A = 5 (x+3) (x-3) + (2x+3)^2 + (x-6)^2\). Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x=\frac{1}{5}\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Rút gọn biểu thức \(A\).

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta cần khai triển từng thành phần bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.

1. Khai triển thành phần thứ nhất: \(5(x+3)(x-3)\)

Chúng ta nhớ hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương”: \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\).

Áp dụng vào \((x+3)(x-3)\) với \(a=x\) và \(b=3\), ta có:

\((x+3)(x-3) = x^2 – 3^2 = x^2 – 9\).

Vậy, \(5(x+3)(x-3) = 5(x^2 – 9) = 5x^2 – 45\).

2. Khai triển thành phần thứ hai: \((2x+3)^2\)

Chúng ta nhớ hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng”: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Áp dụng vào \((2x+3)^2\) với \(a=2x\) và \(b=3\), ta có:

\((2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2\)

\((2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9\).

3. Khai triển thành phần thứ ba: \((x-6)^2\)

Chúng ta nhớ hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Áp dụng vào \((x-6)^2\) với \(a=x\) và \(b=6\), ta có:

\((x-6)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2\)

\((x-6)^2 = x^2 – 12x + 36\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng các kết quả khai triển lại để có biểu thức \(A\) rút gọn:

\(A = (5x^2 – 45) + (4x^2 + 12x + 9) + (x^2 – 12x + 36)\)

Gộp các hạng tử đồng dạng (các hạng tử có cùng phần biến):

Các hạng tử chứa \(x^2\): \(5x^2 + 4x^2 + x^2 = (5+4+1)x^2 = 10x^2\).

Các hạng tử chứa \(x\): \(12x – 12x = (12-12)x = 0x = 0\).

Các hạng tử tự do (hằng số): \(-45 + 9 + 36 = -45 + 45 = 0\).

Vậy, biểu thức \(A\) sau khi rút gọn là: \(A = 10x^2\).

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức \(A\) với \(x = \frac{1}{5}\).

Sau khi rút gọn, biểu thức \(A\) trở nên rất đơn giản: \(A = 10x^2\).

Bây giờ, chúng ta thay \(x = \frac{1}{5}\) vào biểu thức đã rút gọn:

\(A = 10 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\)

\(A = 10 \cdot \frac{1^2}{5^2}\)

\(A = 10 \cdot \frac{1}{25}\)

\(A = \frac{10}{25}\)

Để phân số này gọn hơn, chúng ta có thể rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5:

\(A = \frac{10 \div 5}{25 \div 5} = \frac{2}{5}\).

Kết luận: Giá trị của biểu thức \(A\) với \(x = \frac{1}{5}\) là \(\frac{2}{5}\).

Bài b:

Điền đơn thức thích hợp vào ô trống : \((x-\frac{1}{x})^2 = x^2 – \dots + \frac{1}{x^2}\).

Lời giải chi tiết:

Để điền vào chỗ trống, chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”:

\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Trong trường hợp này, chúng ta có biểu thức \((x – \frac{1}{x})^2\).

Chúng ta xác định các thành phần tương ứng với \(a\) và \(b\) trong hằng đẳng thức:

• \(a = x\)
• \(b = \frac{1}{x}\)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\((x – \frac{1}{x})^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2\)

Bây giờ, chúng ta tính toán phần giữa:

\(2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2 \cdot \frac{x}{x}\)

Vì \(\frac{1}{x}\) có nghĩa nên \(x \neq 0\). Do đó, \(\frac{x}{x} = 1\).

Vậy, \(2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2 \cdot 1 = 2\).

Và \(\left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1^2}{x^2} = \frac{1}{x^2}\).

Thay các kết quả này vào biểu thức ban đầu, ta được:

\((x – \frac{1}{x})^2 = x^2 – 2 + \frac{1}{x^2}\).

Kết luận: Đơn thức thích hợp điền vào ô trống là \(\mathbf{2}\).

Vậy, ta có: \((x – \frac{1}{x})^2 = x^2 – 2 + \frac{1}{x^2}\).

Thầy (cô) hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách rút gọn biểu thức và áp dụng hằng đẳng thức. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!