AE giải giúp tui câu này tìm các cặp số nguyên x,y (x+2)^2+2(y-3)^2<4
(x+2)^2+2(y-3)^2<4
Chào em, để giải quyết bài toán tìm các cặp số nguyên x và y thỏa mãn biểu thức đã cho, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một cách thật chi tiết nhé. Đối với các bài toán lớp 7 dạng bất phương trình số nguyên, cách tốt nhất là chúng ta đánh giá giá trị của từng thành phần trong biểu thức.
Bước 1: Phân tích đặc điểm của biểu thức
Biểu thức của chúng ta có chứa hai bình phương là bình phương của (x+2) và bình phương của (y-3), đồng thời có nhân với số 2 ở vế sau. Các em cần nhớ một tính chất quan trọng trong tập hợp số nguyên: Bình phương của một số nguyên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
- Ta luôn có (x+2) mũ 2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số nguyên x.
- Ta luôn có (y-3) mũ 2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số nguyên y, dẫn đến 2 nhân với (y-3) mũ 2 cũng lớn hơn hoặc bằng 0.
- Tổng của hai đại lượng lớn hơn hoặc bằng 0 này lại nhỏ hơn 4. Do đó, từng thành phần trong tổng chắc chắn phải nhỏ hơn 4.
Bước 2: Tìm các giá trị có thể có của (y-3) mũ 2
Vì 2 nhân với (y-3) mũ 2 nhỏ hơn 4, nên (y-3) mũ 2 phải nhỏ hơn 4 chia 2, tức là (y-3) mũ 2 nhỏ hơn 2.
Vì (y-3) mũ 2 là một số chính phương (bình phương của một số nguyên), các giá trị số nguyên không âm nhỏ hơn 2 chỉ có thể là 0 hoặc 1.
Như vậy, chúng ta sẽ xét 2 trường hợp cho (y-3) mũ 2:
- Trường hợp 1: (y-3) mũ 2 bằng 0.
- Trường hợp 2: (y-3) mũ 2 bằng 1.
Bước 3: Xét từng trường hợp để tìm x và y
Xét trường hợp 1: (y-3) mũ 2 = 0
- Khi đó y – 3 = 0, suy ra y = 3.
- Thay lại vào biểu thức ban đầu, ta có: (x+2) mũ 2 + 2 nhân 0 nhỏ hơn 4, tức là (x+2) mũ 2 nhỏ hơn 4.
- Các số nguyên có bình phương nhỏ hơn 4 là: 0, 1 và -1 (vì (-1) mũ 2 = 1 và 1 mũ 2 = 1).
- Do đó, ta có các khả năng cho (x+2):
- Nếu x + 2 = -2 thì x = -4.
- Nếu x + 2 = -1 thì x = -3.
- Nếu x + 2 = 0 thì x = -2.
- Nếu x + 2 = 1 thì x = -1.
- Nếu x + 2 = 2 thì x = 0.
- Tuy nhiên ta phải thử lại vào bất đẳng thức (x+2) mũ 2 nhỏ hơn 4:
- Nếu x = -4 thì (-4+2) mũ 2 = (-2) mũ 2 = 4 (không thỏa mãn vì 4 không nhỏ hơn 4).
- Nếu x = -3 thì (-3+2) mũ 2 = (-1) mũ 2 = 1 (thỏa mãn).
- Nếu x = -2 thì (-2+2) mũ 2 = 0 (thỏa mãn).
- Nếu x = -1 thì (-1+2) mũ 2 = 1 (thỏa mãn).
- Nếu x = 0 thì (0+2) mũ 2 = 4 (không thỏa mãn).
- Vậy ở trường hợp này, ta tìm được các cặp số nguyên (x, y) là: (-3, 3), (-2, 3) và (-1, 3).
Xét trường hợp 2: (y-3) mũ 2 = 1
- Khi đó y – 3 bằng 1 hoặc y – 3 bằng -1.
- Suy ra ta có 2 giá trị của y:
- Nếu y – 3 = 1 thì y = 4.
- Nếu y – 3 = -1 thì y = 2.
- Thay (y-3) mũ 2 = 1 vào biểu thức ban đầu, ta có: (x+2) mũ 2 + 2 nhân 1 nhỏ hơn 4.
- Biến đổi tiếp: (x+2) mũ 2 + 2 nhỏ hơn 4, suy ra (x+2) mũ 2 nhỏ hơn 4 trừ 2, tức là (x+2) mũ 2 nhỏ hơn 2.
- Các số nguyên có bình phương nhỏ hơn 2 chỉ có thể là 0 hoặc 1 (tương ứng với x+2 nhận các giá trị -1, 0, 1).
- Tương tự như trên, ta tìm được các giá trị của x thỏa mãn (x+2) mũ 2 nhỏ hơn 2 là x = -3, x = -2 và x = -1.
- Kết hợp với hai giá trị của y (là 2 và 4), ta sẽ ghép lại được các cặp số nguyên cho trường hợp này:
- Với y = 2: các cặp x là -3, -2, -1 ta có các cặp (-3, 2), (-2, 2), (-1, 2).
- Với y = 4: các cặp x là -3, -2, -1 ta có các cặp (-3, 4), (-2, 4), (-1, 4).
Bước 4: Kết luận tổng quát
Sau khi tổng hợp tất cả các trường hợp trên lại, chúng ta liệt kê toàn bộ các cặp số nguyên x và y thỏa mãn yêu cầu bài toán gồm:
- (-3, 2), (-2, 2), (-1, 2)
- (-3, 3), (-2, 3), (-1, 3)
- (-3, 4), (-2, 4), (-1, 4)
Tổng cộng có tất cả 9 cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đề bài. Các em hãy ghi chép lại cẩn thận và luyện tập thêm các dạng toán đánh giá này nhé!
Ta có: \((x + 2)^2 + 2(y – 3)^2 < 4\)
Vì \(x, y in ZZ\) nên \((x + 2)^2 >= 0,\) \(2(y – 3)^2 >= 0\)
Mà: \((x + 2)^2 + 2(y – 3)^2 < 4\)
\(=> 2(y – 3)^2 < 4\)
\(=> (y – 3)^2 < 2\)
Vì \(y – 3\) nguyên nên \((y -3) in {-1; 0; 1}\)
\(=> y in {2; 3; 4}\)
\(+)\) Với \(y = 2\) thì:
\((x + 2)^2 < 4\)
\(-2 < x + 2< 2\)
\(x in {-3; -2; -1}\)
\(+)\) Với \(y = 3\) thì:
\((x + 2)^2 < 4\)
\(-2 < x + 2< 2\)
\(x in {-3; -2; -1}\)
\(+)\) Với \(y = 4\) thì:
\((x + 2)^2 < 4\)
\(-2 < x + 2< 2\)
\(x in {-3; -2; -1}\)
Vậy các cặp số nguyên \((x, y) in {(-3, 2); (-2, 2); (-1, 2); (-3, 3); (-2, 3); (-1, 3); (-3, 4); (-2, 4); (-1, 4)}\)
Ta có \(:\)
\((x+2)^2 + 2(y-3)^2 < 4\)
\(=> 2(y-3)^2 < 4\)
\(=> (y-3)^2 < 2\)
\(=> -\sqrt2 < y – 3 < \sqrt 2\)
\(=> \sqrt2 + 3 < y < sqrt2 + 3\)
Vì \(y \in ZZ\)
\(=> y = {2;3;4}\)
\(+) y = 2 \)
\(=> (x+2)^2 < 2\)
\(=> -\sqrt2 < x+2 < \sqrt2\)
\(=> x= {-3;-2;-1}\)
\(+) y = 3\)
\(=> (x+2)^2 < 4\)
\(=> -2<x+2<2\)
\(=> x = {-3;-2;-1}\)
\(+) y = 4 \)
\(=> (x+2)^2 < 2\)
\(=> -\sqrt2 < x+2 < \sqrt2\)
Vậy cặp số \((x,y)\) là \((-3;2);(-2;2);(-1;2) ; (-3;3);(-2;3);(-1;3) ; (-3;4);(-2;4);(-1;4)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment