Thầy rất vui khi được cùng các em giải một bài toán thú vị về số nguyên. Đây là dạng bài tìm cặp số \((x, y)\) thỏa mãn một bất đẳng thức. Chúng ta cùng nhau giải bài này nhé!

Đề bài: Tìm các cặp số nguyên \(x, y\) thỏa mãn bất đẳng thức sau:

\((x+2)^2 + 2(y-3)^2 < 4\)

Phân tích bài toán:

Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ một kiến thức quan trọng mà các em đã học:

    1. Bình phương của một số (dù là số âm hay số dương) luôn là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Điều này có nghĩa là:

\((x+2)^2 \ge 0\)

và

\((y-3)^2 \ge 0\)

Từ đó, chúng ta cũng có \(2(y-3)^2 \ge 0\).

Bất đẳng thức của chúng ta là \((x+2)^2 + 2(y-3)^2 < 4\). Vì cả hai số hạng \((x+2)^2\) và \(2(y-3)^2\) đều không âm, mà tổng của chúng phải nhỏ hơn 4, điều này giới hạn rất nhiều các giá trị có thể có của chúng.

Chúng ta hãy xét các trường hợp có thể của \((y-3)^2\) trước, vì nó được nhân với 2, nên sẽ “lớn” nhanh hơn.

Trường hợp 1: Xét khi \(2(y-3)^2\) có giá trị nhỏ nhất.

Vì \((y-3)^2 \ge 0\), nên giá trị nhỏ nhất của nó là 0.

Nếu \((y-3)^2 = 0\)

    Điều này xảy ra khi \(y-3 = 0\), tức là \(y = 3\).

Thay \((y-3)^2 = 0\) vào bất đẳng thức ban đầu, ta được:

\((x+2)^2 + 2 \times 0 < 4\)

\((x+2)^2 < 4\)

Vì \(x\) là số nguyên, nên \(x+2\) cũng là số nguyên. Vậy \((x+2)^2\) phải là một số chính phương (bình phương của một số nguyên) và nhỏ hơn 4. Các số chính phương không âm nhỏ hơn 4 là 0 và 1.

    a) Nếu \((x+2)^2 = 0\)

        \(x+2 = 0 \implies x = -2\)

        Chúng ta có cặp số: \(\mathbf{(-2, 3)}\)

    b) Nếu \((x+2)^2 = 1\)

        \(x+2 = 1 \implies x = -1\)

        hoặc

        \(x+2 = -1 \implies x = -3\)

        Chúng ta có các cặp số: \(\mathbf{(-1, 3)}\) và \(\mathbf{(-3, 3)}\)

Trường hợp 2: Xét khi \((y-3)^2\) là số chính phương tiếp theo.

Số chính phương không âm tiếp theo sau 0 là 1.

Nếu \((y-3)^2 = 1\)

    Điều này xảy ra khi \(y-3 = 1\) hoặc \(y-3 = -1\).

        \(y-3 = 1 \implies y = 4\)

        hoặc

        \(y-3 = -1 \implies y = 2\)

Thay \((y-3)^2 = 1\) vào bất đẳng thức ban đầu, ta được:

\((x+2)^2 + 2 \times 1 < 4\)

\((x+2)^2 + 2 < 4\)

\((x+2)^2 < 2\)

Vì \(x\) là số nguyên, nên \(x+2\) cũng là số nguyên. Vậy \((x+2)^2\) phải là một số chính phương không âm và nhỏ hơn 2. Các số chính phương không âm nhỏ hơn 2 là 0 và 1.

    a) Nếu \((x+2)^2 = 0\)

        \(x+2 = 0 \implies x = -2\)

        Khi \(x=-2\), chúng ta có hai giá trị của \(y\) là 4 và 2. Vậy có các cặp số: \(\mathbf{(-2, 4)}\) và \(\mathbf{(-2, 2)}\)

    b) Nếu \((x+2)^2 = 1\)

        \(x+2 = 1 \implies x = -1\)

        hoặc

        \(x+2 = -1 \implies x = -3\)

        Khi \(x=-1\), chúng ta có hai giá trị của \(y\) là 4 và 2. Vậy có các cặp số: \(\mathbf{(-1, 4)}\) và \(\mathbf{(-1, 2)}\)

        Khi \(x=-3\), chúng ta có hai giá trị của \(y\) là 4 và 2. Vậy có các cặp số: \(\mathbf{(-3, 4)}\) và \(\mathbf{(-3, 2)}\)

Trường hợp 3: Xét khi \((y-3)^2\) là số chính phương tiếp theo.

Số chính phương không âm tiếp theo sau 1 là 4.

Nếu \((y-3)^2 = 4\)

Thay \((y-3)^2 = 4\) vào bất đẳng thức ban đầu, ta được:

\((x+2)^2 + 2 \times 4 < 4\)

\((x+2)^2 + 8 < 4\)

\((x+2)^2 < 4 – 8\)

\((x+2)^2 < -4\)

Điều này là vô lý, vì bình phương của một số không thể là một số âm. Do đó, không có giá trị \(x, y\) nào thỏa mãn trong trường hợp này. Và cũng không có trường hợp nào mà \((y-3)^2\) lớn hơn 4 thỏa mãn nữa, vì khi \((y-3)^2\) càng lớn thì \(2(y-3)^2\) sẽ càng lớn, dẫn đến tổng sẽ lớn hơn 4.

Kết luận:

Tóm lại, các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bất đẳng thức đã cho là:

• Từ Trường hợp 1:
• \((-2, 3)\)
• \((-1, 3)\)
• \((-3, 3)\)
• Từ Trường hợp 2:
• \((-2, 4)\)
• \((-2, 2)\)
• \((-1, 4)\)
• \((-1, 2)\)
• \((-3, 4)\)
• \((-3, 2)\)

Vậy có tổng cộng 3 + 6 = 9 cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài này. Đây là một phương pháp rất hữu ích khi các em gặp các bài toán liên quan đến số nguyên và bình phương đấy!