Bài toán:

a) Tìm 2 số nằm giữa phân số \( \frac{13}{99} \) và \( \frac{15}{102} \)

b) Tìm 3 số nằm giữa phân số \( \frac{1}{1002} \) và \( \frac{4}{1003} \)

Lưu ý: Các phân số ở trên là phân số tối giản. Khi tìm số nằm giữa, chúng ta sẽ cố gắng quy đồng mẫu số về mẫu số nhỏ nhất có thể.

—

Giải bài toán:

Phần a) Tìm 2 số nằm giữa \( \frac{13}{99} \) và \( \frac{15}{102} \)

Bước 1: Đưa về cùng mẫu số

Trước hết, chúng ta cần quy đồng mẫu số của hai phân số \( \frac{13}{99} \) và \( \frac{15}{102} \) để dễ dàng so sánh.

Ta tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 99 và 102.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\( 99 = 3^2 \times 11 \)
\( 102 = 2 \times 3 \times 17 \)

BCNN(99, 102) = \( 2 \times 3^2 \times 11 \times 17 = 2 \times 9 \times 11 \times 17 = 18 \times 187 = 3366 \)

Bây giờ, ta quy đồng mẫu số:
\( \frac{13}{99} = \frac{13 \times (3366 \div 99)}{3366} = \frac{13 \times 34}{3366} = \frac{442}{3366} \)
\( \frac{15}{102} = \frac{15 \times (3366 \div 102)}{3366} = \frac{15 \times 33}{3366} = \frac{495}{3366} \)

Bước 2: Tìm các số nằm giữa

Bây giờ chúng ta có hai phân số là \( \frac{442}{3366} \) và \( \frac{495}{3366} \).
Ta cần tìm 2 số nằm giữa hai phân số này.

Ta có thể dễ dàng thấy rằng, các số nguyên nằm giữa 442 và 495 là 443, 444, 445, …, 494.
Chúng ta chỉ cần chọn 2 số bất kỳ trong dãy này và giữ nguyên mẫu số 3366.

Ví dụ, ta chọn số 443 và 444.
Vậy, hai số nằm giữa \( \frac{13}{99} \) và \( \frac{15}{102} \) là \( \frac{443}{3366} \) và \( \frac{444}{3366} \).

Chúng ta có thể chọn các cặp số khác, ví dụ: \( \frac{450}{3366} \) và \( \frac{460}{3366} \).

Kết luận phần a: Hai số nằm giữa \( \frac{13}{99} \) và \( \frac{15}{102} \) có thể là \( \frac{443}{3366} \) và \( \frac{444}{3366} \).

—

Phần b) Tìm 3 số nằm giữa \( \frac{1}{1002} \) và \( \frac{4}{1003} \)

Bước 1: Đưa về cùng mẫu số

Ta cần quy đồng mẫu số của hai phân số \( \frac{1}{1002} \) và \( \frac{4}{1003} \).
Vì 1002 và 1003 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác 1), nên BCNN(1002, 1003) chính là tích của chúng.
BCNN(1002, 1003) = \( 1002 \times 1003 \)

Tính tích này:
\( 1002 \times 1003 = 1002 \times (1000 + 3) = 1002000 + 3006 = 1005006 \)

Bây giờ, ta quy đồng mẫu số:
\( \frac{1}{1002} = \frac{1 \times 1003}{1002 \times 1003} = \frac{1003}{1005006} \)
\( \frac{4}{1003} = \frac{4 \times 1002}{1003 \times 1002} = \frac{4008}{1005006} \)

Bước 2: Tìm các số nằm giữa

Bây giờ chúng ta có hai phân số là \( \frac{1003}{1005006} \) và \( \frac{4008}{1005006} \).
Ta cần tìm 3 số nằm giữa hai phân số này.

Các số nguyên nằm giữa 1003 và 4008 là 1004, 1005, 1006, …, 4007.
Chúng ta chỉ cần chọn 3 số bất kỳ trong dãy này và giữ nguyên mẫu số 1005006.

Ví dụ, ta chọn số 1004, 1005 và 1006.
Vậy, ba số nằm giữa \( \frac{1}{1002} \) và \( \frac{4}{1003} \) là \( \frac{1004}{1005006} \), \( \frac{1005}{1005006} \) và \( \frac{1006}{1005006} \).

Chúng ta có thể chọn các bộ ba số khác, ví dụ: \( \frac{2000}{1005006} \), \( \frac{3000}{1005006} \) và \( \frac{3500}{1005006} \).

Kết luận phần b: Ba số nằm giữa \( \frac{1}{1002} \) và \( \frac{4}{1003} \) có thể là \( \frac{1004}{1005006} \), \( \frac{1005}{1005006} \) và \( \frac{1006}{1005006} \).

—

Các em thấy đó, bài toán tìm số nằm giữa các phân số sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều nếu chúng ta biết cách quy đồng mẫu số. Các em có thể tự thử sức với những cặp phân số khác nhé!

—

Chúc các em học tốt!